删数

对于任意一个数列，如果能在有限次进行下列删数操作后将其删为空数列，则称这个数列可以删空。一次删数操作定义如下：

• 记当前数列长度为 \(k\)，则删掉数列中所有等于 \(k\) 的数。

现有一个长度为 \(n\) 的数列 \(a\)，有 \(m\) 次修改操作，第 \(i\) 次修改后你要回答：经过 \(i\) 次修改后的数列 \(a\)，至少还需要修改几个数才可删空？

每次修改操作为单点修改或数列整体加一或数列整体减一。

对于 \(100\%\) 的数据，

• \(1\le n,m \le 1.5 \times 10^5\)
• \(1\le a_i \le n\)
• \(0\le p\le n\)
  • \(p>0\) 时，\(1\le x \le n\)。
  • \(p=0\) 时，\(x=-1\) 或 \(1\)。

题解

http://jklover.hs-blog.cf/2020/05/29/Loj-3094-删数/

线段树.

考虑对于给定的数列,如何计算最小修改次数.

若当前数列长度为 \(x\) ,则操作一次后会转移到 \(x-cnt(x)\) ,其中 \(cnt(x)\) 表示数列中有几个 \(x\) .

想让数列长度变为 \(0​\) ,这相当于每个长度都要被删去一次,而 \(x​\) 可以让 \([x-cnt(x)+1,x]​\) 这些长度都被删一次.

于是 \([1,n]\) 内每种数字 \(x\) 可以覆盖一段区间 \([x-cnt(x)+1,x]\) ,询问 \([1,n]\) 内有几个位置没被覆盖即为答案.

可以用线段树维护每个位置被覆盖的次数,询问最小值以及最小值出现的次数即可得到答案.

现在考虑如何支持修改,单点修改可以直接删掉原来的线段,加上新的线段.

整体 \(+1,-1\) 可以直接对全局维护偏移量标记 \(\Delta\) ,询问 \([1,n]\) 时改为询问 \([1-\Delta,n-\Delta]\) 即可.

注意整体 \(+1,-1\) 时,可能会导致 \(n\) 与 \(n+1\) 交换,此时需要修改它们的贡献.

时间复杂度 \(O(n\log n)\) .

CO int N=4.5e5+10;
int a[N],cnt[N];

struct node {int min,cnt;} tree[4*N];
int tag[4*N];

IN node operator+(CO node&a,CO node&b){
	node c={min(a.min,b.min)};
	if(a.min==c.min) c.cnt+=a.cnt;
	if(b.min==c.min) c.cnt+=b.cnt;
	return c;
}

#define lc (x<<1)
#define rc (x<<1|1)
#define mid ((l+r)>>1)
void build(int x,int l,int r){
	tree[x]={0,r-l+1},tag[x]=0;
	if(l==r) return;
	build(lc,l,mid),build(rc,mid+1,r);
}
IN void put_tag(int x,int v){
	tree[x].min+=v,tag[x]+=v;
}
IN void push_down(int x){
	if(tag[x]){
		put_tag(lc,tag[x]),put_tag(rc,tag[x]);
		tag[x]=0;
	}
}
void modify(int x,int l,int r,int ql,int qr,int v){
	if(qr<l or ql>r) return;
	if(ql<=l and r<=qr) return put_tag(x,v);
	push_down(x);
	if(ql<=mid) modify(lc,l,mid,ql,qr,v);
	if(qr>mid) modify(rc,mid+1,r,ql,qr,v);
	tree[x]=tree[lc]+tree[rc];
}
node query(int x,int l,int r,int ql,int qr){
	if(ql<=l and r<=qr) return tree[x];
	push_down(x);
	if(qr<=mid) return query(lc,l,mid,ql,qr);
	if(ql>mid) return query(rc,mid+1,r,ql,qr);
	return query(lc,l,mid,ql,qr)+query(rc,mid+1,r,ql,qr);
}

int main(){
	int n=read<int>(),m=read<int>(),mx=n+m+m;
	build(1,1,mx);
	for(int i=1;i<=n;++i){
		a[i]=read<int>()+m;
		++cnt[a[i]];
		modify(1,1,mx,a[i]-cnt[a[i]]+1,a[i]-cnt[a[i]]+1,1);
	}
	int delta=0;
	function<int(int)> calc=[&](int x){
		return x+m-delta;
	};
	for(int i=1;i<=m;++i){
		int p=read<int>();
		if(!p){
			int x=read<int>();
			if(x==1){
				if(cnt[calc(n)])
					modify(1,1,mx,calc(n)-cnt[calc(n)]+1,calc(n),-1);
			}
			else{
				if(cnt[calc(n+1)])
					modify(1,1,mx,calc(n+1)-cnt[calc(n+1)]+1,calc(n+1),1);
			}
			delta+=x;
		}
		else{
			int x=read<int>();
			if(a[p]<=calc(n))
				modify(1,1,mx,a[p]-cnt[a[p]]+1,a[p]-cnt[a[p]]+1,-1);
			--cnt[a[p]];
			a[p]=x+m-delta;
			++cnt[a[p]];
			if(a[p]<=calc(n))
				modify(1,1,mx,a[p]-cnt[a[p]]+1,a[p]-cnt[a[p]]+1,1);
		}
		node ans=query(1,1,mx,calc(1),calc(n));
		printf("%d\n",ans.min?0:ans.cnt);
	}
	return 0;
}