唱、跳、rap和篮球

大中锋的学院要组织学生参观博物馆，要求学生们在博物馆中排成一队进行参观。他的同学可以分为四类：一部分最喜欢唱、一部分最喜欢跳、一部分最喜欢rap，还有一部分最喜欢篮球。如果队列中\(k,k + 1,k+1,k + 2,k+2,k + 3,k+3\)位置上的同学依次，最喜欢唱、最喜欢跳、最喜欢rap、最喜欢篮球，那么他们就会聚在一起讨论蔡徐坤。大中锋不希望这种事情发生，因为这会使得队伍显得很乱。大中锋想知道有多少种排队的方法，不会有学生聚在一起讨论蔡徐坤。两个学生队伍被认为是不同的，当且仅当两个队伍中至少有一个位置上的学生的喜好不同。由于合法的队伍可能会有很多种，种类数对998244353取模。

Input

输入数据只有一行。每行55个整数，第一个整数n，代表大中锋的学院要组织多少人去参观博物馆。接下来四个整数a、b、c、d，分别代表学生中最喜欢唱的人数、最喜欢跳的人数、最喜欢rap的人数和最喜欢篮球的人数。保证\(a+b+c+d \ge n\)。

Output

每组数据输出一个整数，代表你可以安排出多少种不同的学生队伍，使得队伍中没有学生聚在一起讨论蔡徐坤。结果对998244353取模。

Sample Input 1

4 4 3 2 1

Sample Output 1

174

Sample Input 2

996 208 221 132 442

Sample Output 2

442572391

思路：

\(令f_x=(n-4x)!\sum\limits_{i=0}^a\sum\limits_{j=0}^b\sum\limits_{k=0}^c\sum\limits_{w=0}^d[a+b+c+d=n-4x]\frac{1}{i!j!k!w!}\)

\(ans=\sum\limits_{i=0}^{min\{a,b,c,d,\lfloor\frac{n}{4}\rfloor\}}(-1)^i(^{n-3i}_{\ \ \ \ i})f_i\)

证明：

后面把讨论蔡徐坤的段叫\(jntm\)

\(考虑枚举jntm的数量,进行容斥\)

\(假设f_i为在去掉jntm后的方案数\)

\(\because 每个jntm长度4\)

\(\therefore 有C_{n-3i}^i的方案数\)

\(\therefore ans=\sum\limits_{i=0}^{min\{a,b,c,d,\lfloor\frac{n}{4}\rfloor\}}(-1)^i(^{n-3i}_{\ \ \ \ i})f_i\)

\(考虑枚举剩下的位置中有多少个j,n,t,m\)

\(f_x=\sum\limits_{i=0}^a\sum\limits_{j=0}^b\sum\limits_{k=0}^c\sum\limits_{w=0}^d[a+b+c+d=n-4x]\frac{(n-4x)!}{i!j!k!w!}=(n-4x)!\sum\limits_{i=0}^a\sum\limits_{j=0}^b\sum\limits_{k=0}^c\sum\limits_{w=0}^d[a+b+c+d=n-4x]\frac{1}{i!j!k!w!}\)

\(发现可以NTT优化卷积，时间复杂度O(n^2log_2n)\)

\(\mathfrak{Talk\ is\ cheap\ ,show\ you\ the\ code.}\)

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
# define read read1<int>()
# define Type template<typename T>
Type inline T read1(){
    T n=0;
    char k;
    bool fl=0;
    do (k=getchar())=='-'&&(fl=1);while('9'<k||k<'0');
    while(47<k&&k<58)n=(n<<3)+(n<<1)+(k^48),k=getchar();
    return fl?-n:n;
}
inline int r(int mod){
    int n=0;
    char k;
    bool fl=0;
    do (k=getchar())=='-'&&(fl=1);while('9'<k||k<'0');
    while(47<k&&k<58)n=(10ll*n+(k^48))%mod,k=getchar();
    return fl?mod-n:n;
}
# define f(i,l,r) for(int i=(l);i<=(r);++i)
# define fre(k) freopen(k".in","r",stdin);freopen(k".ans","w",stdout)
# define ll int64_t
class Array{
    private:
        vector<int>a;
    public:
        Array(const int size,const int f):a(size,f){}
        void push(int n){a.push_back(n);}
        Array(int* l=NULL,int* r=NULL){while(l!=r)push(*l),++l;}
        inline int size(){return a.size();}
        inline int& operator [] (const int x){return a[x];}
        void resize(int n){a.resize(n);}
        void clear(){a.clear();}
        void swap(){reverse(a.begin(),a.end());}
        int& top(){return a[a.size()-1];}
        void pop(){a.pop_back();}
        Array& operator %= (const int k){
            for(int i=0;i<size();++i)
                a[i]%=k;
            return *this;
        }
};
const int mod=998244353,g=3,inv2=499122177;
Array operator -(Array a,Array b){
    int N=a.size(),M=b.size();
    Array t;
    for(int i=0;i<N||i<M;++i){
        t.push((i<N?a[i]:0)-(i<M?b[i]:0));
        if(t.top()<0)t.top()+=mod;
    }
    return t;
}
Array operator +(Array a,Array b){
    int N=a.size(),M=b.size();
    Array t;
    for(int i=0;i<N||i<M;++i){
        t.push((i<N?a[i]:0)+(i<M?b[i]:0));
        if(t.top()>=mod)t.top()-=mod;
    }
    return t;
}
Array operator *(Array a,int n){
    int N=a.size();
    for(int i=0;i<N;a[i]=(ll)a[i]*n%mod,++i);
    return a;
}
Array operator *(int n,Array a){return a*n;}
int qkpow(int b,int m,int mod){
    int tem=b,ans=1;
    for(;m;m>>=1,tem=(ll)tem*tem%mod)
        if(m&1)ans=(ll)ans*tem%mod;
    return ans;
}
int* NTT(const int len,Array& a,const bool Ty,int* r=NULL){
    if(!r){
        r=new int[len];
        r[0]=0;int L=log2(len);
        f(i,0,len-1)
            r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<L-1);
    }
    f(i,0,len-1)
        if(i<r[i])swap(a[i],a[r[i]]);
    for(int i=1;i<len;i<<=1){
        int T=qkpow(Ty?g:332748118,(mod-1)/(i<<1),mod);
        for(int W=i<<1,j=0;j<len;j+=W){
            ll omega=1;
            for(int k=0;k<i;++k,omega=omega*T%mod){
                ll x(a[j+k]),y(omega*a[i+j+k]%mod);
                a[j+k]=x+y;(a[j+k]>=mod)&&(a[j+k]-=mod);
                a[i+j+k]=x-y+mod;(a[i+j+k]>=mod)&&(a[i+j+k]-=mod);
            }
        }
    }
    return r;
}
Array operator * (Array x,Array y){
    int n=x.size()-1,m=y.size()-1;
    int limit=1;
    while(limit<=n+m)limit<<=1;
    Array ans;
    x.resize(limit+1);
    y.resize(limit+1);
    int *r;
    r=NTT(limit,x,1);
    NTT(limit,y,1,r);
    f(i,0,limit)x[i]=(ll)x[i]*y[i]%mod;
    NTT(limit,x,0,r);
    int tem=qkpow(limit,mod-2,mod);
    f(i,0,n+m)ans.push((ll)x[i]*tem%mod);
    return ans;
}
Array& operator *= (Array& x,Array y){
    return x=x*y;
}
void Rev(Array &x,Array y){
    int n=x.size()-1,m=y.size()-1;
    int limit=1;
    while(limit<=n+m)limit<<=1;
    Array ans;
    x.resize(limit+1);
    y.resize(limit+1);
    int *r;
    r=NTT(limit,x,1);
    NTT(limit,y,1,r);
    f(i,0,limit)x[i]=(ll)(2ll-(ll)x[i]*y[i]%mod+mod)%mod*y[i]%mod;
    NTT(limit,x,0,r);
    int tem=qkpow(limit,mod-2,mod);
    f(i,0,n+m)x[i]=(ll)x[i]*tem%mod;
    x.resize(n+m+1);
}
Array Inv(Array a){
    int N=a.size();
    // printf("%d\n",N);
    if(N==1)return Array(1,qkpow(a[0],mod-2,mod));
    Array b=a;b.resize(N+1>>1);
    b=Inv(b);b.resize(N);
    Rev(a,b);
    a.resize(N);
    return a;
}
Array operator / (Array x,Array y){
    int N=x.size()-1,M=y.size()-1;
    if(N<M)return Array(1,0);
    x.swap();y.swap();
    y.resize(N-M+1);
    x*=Inv(y);
    x.resize(N-M+1);
    x.swap();
    return x;
}
Array sqrt(Array x){
    int N=x.size();
    if(N==1)return Array(1,1);
    Array y=x;
    y.resize(N+1>>1);
    y=sqrt(y);
    y.resize(N);
    Array z=Inv(y);
    x*=z;x.resize(N);
    return inv2*(y+x);
}
Array diff(Array x){
    for(int i=0;i+1<x.size();++i)
        x[i]=(ll)x[i+1]*(i+1)%mod;
    x.pop();
    return x;
}
Array integral(Array x){
    for(int i=x.size();--i;)
        x[i]=(ll)x[i-1]*qkpow(i,mod-2,mod)%mod;
    x[0]=0;
    return x;
}
Array ln(Array x){
    int N=x.size();
    x=integral(diff(x)*Inv(x));
    x.resize(N);
    return x;
}
Array exp(Array x){
    int N=x.size();
    if(N==1)return Array(1,1);
    Array y=x;
    y.resize(N+1>>1);
    y=exp(y);
    y.resize(N);
    y[0]=1;
    ++x[0];
    y*=(x-ln(y));
    y.resize(N);
    return y;
}
int fac[1001],n(read),a(read),b(read),c(read),d(read),inv[1001];
Array x,y,z,w;
int C(int n,int m){return (ll)fac[n]*inv[n-m]%mod*inv[m]%mod;}
int sigma(int l){
    int ans=C(n-l*3,l),A=a-l,B=b-l,C=c-l,D=d-l;
    x.clear();y.clear();z.clear();w.clear();
    f(i,0,A)x.push(inv[i]);
    f(i,0,B)y.push(inv[i]);
    f(i,0,C)z.push(inv[i]);
    f(i,0,D)w.push(inv[i]);
    int limit=1;
    while(limit<=A+B+C+D)limit<<=1;
    x.resize(limit+1);
    y.resize(limit+1);
    z.resize(limit+1);
    w.resize(limit+1);
    int *r;
    r=NTT(limit,x,1);
    NTT(limit,y,1,r);
    NTT(limit,z,1,r);
    NTT(limit,w,1,r);
    f(i,0,limit)x[i]=(ll)x[i]*y[i]%mod*z[i]%mod*w[i]%mod;
    NTT(limit,x,0,r);
    int tem=qkpow(limit,mod-2,mod);
    return (ll)ans*fac[n-(l<<2)]%mod*x[n-(l<<2)]%mod*tem%mod;
}
int main(){
    fac[1]=fac[0]=inv[0]=inv[1]=1;
    for(int i=2;i<=1000;++i)
        inv[i]=qkpow(fac[i]=(ll)fac[i-1]*i%mod,mod-2,mod);
    int s=min(n>>2,min(a,min(b,min(c,d)))),ans=0;
    for(int i=0;i<=s;++i)
        if(i&1)ans=(ans-sigma(i)+mod)%mod;
        else ans=(ans+sigma(i))%mod;
    printf("%d",ans);
    return 0;
}