BIT 树状数组详解及例题

2022-12-01 17:47:42

（一）树状数组的概念

如果给定一个数组，要你求里面所有数的和，一般都会想到累加。但是当那个数组很大的时候，累加就显得太耗时了，时间复杂度为O(n)，并且采用累加的方法还有一个局限，那就是，当修改掉数组中的元素后，仍然要你求数组中某段元素的和，就显得麻烦了。所以我们就要用到树状数组，他的时间复杂度为O（lgn），相比之下就快得多。下面就讲一下什么是树状数组：

一般讲到树状数组都会少不了下面这个图：

下面来分析一下上面那个图看能得出什么规律：

据图可知：c1=a1，c2=a1+a2，c3=a3，c4=a1+a2+a3+a4，c5=a5，c6=a5+a6，c7=a7，c8=a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8，c9=a9，c10=a9+a10，c11=a11........c16=a1+a2+a3+a4+a5+.......+a16。

分析上面的几组式子可知，当 i 为奇数时，ci=ai ；当 i 为偶数时，就要看 i 的因子中最多有二的多少次幂，例如，6 的因子中有 2 的一次幂，等于 2 ，所以 c6=a5+a6（由六向前数两个数的和），4 的因子中有 2 的两次幂，等于 4 ，所以 c4=a1+a2+a3+a4（由四向前数四个数的和）。

（一）有公式：cn=a(n-a^k+1)+.........+an（其中 k 为 n 的二进制表示中从右往左数的 0 的个数）。

那么，如何求 a^k 呢？求法如下：

 int lowbit(int x) //取x的最低位1，比如4，则返回4，如5，则返回1

 {

     return x&(-x);

 }

lowbit（）的返回值就是 2^k 次方的值。

求出来 2^k 之后，数组 c 的值就都出来了，接下来我们要求数组中所有元素的和。

（二）求数组的和的算法如下：

（1）首先，令sum=0，转向第二步；

（2）接下来判断，如果 n>0 的话，就令sum=sum+cn转向第三步，否则的话，终止算法，返回 sum 的值；

（3）n=n - lowbit（n）（将n的二进制表示的最后一个零删掉），回第二步。

代码实现：

 int Sum(int i)   //求前i项的和

 {

     int s = ;

     //将前i项分段

     while(i > )

     {

         s += sum[i];

         i -= lowbit(i);  //去掉i的二进制最后一个

     }

     return s;

 }

（三）当数组中的元素有变更时，树状数组就发挥它的优势了，算法如下（修改为给某个节点 i 加上 x ）：

（1）当 i<=n 时，执行下一步；否则的话，算法结束;

（2）ci=ci+x ，i=i+lowbit（i）（在 i 的二进制表示的最后加零），返回第一步。

代码实现：

 void update(int i, int val)  //将第i个元素增加val

 {

     //i的祖先都要增加val

     while(i <= n)

     {

         sum[i] += val;

         i += lowbit(i);   //将i的二进制未位补为得到其祖先

     }

 }

（二）树状数组的应用

以下数组下标均默认从1开始

应用一

假如给你一个数组a[ ] = {2,5,3,4,1},求b[i]，b[i] 表示在a[1],a[2]...a[i-1]中(即位置i的左边)小于等于a[i]的数的个数。对此例b[] = {0,1,1,2,0}。那么该如何去求得b[i]呢？

解法：假如要得到b[4]的值,对于a[4] = 4. 我们只要得到在a[1],a[2],a[3] 中出现小于等于4的个数，即1,2,3,4的个数,此例即为2. a[1] = 2 < a[4], a[3] = 3 < a[4]. 所以b[4] = 2;其他的以此类推. 求b[i]的值，需要得到在a[1],a[2]....a[i-1]中出现小于等于a[i]的个数，即1,2...a[i]的个数. 相当于求前a[i]项的和，可用到树状数组.

具体操作

for(int i=1; i<=n; i++)

{

b[i] = getSum(a[i]); //求前a[i]项的和

update(a[i],1); //第a[i]个元素+1

}

应用二

假如给你一个数组a[ ] = {2,5,3,4,1},求b[i]，b[i] 表示在a[1],a[2]...a[i-1]中(即位置i的左边)大于等于a[i]的数的个数。对此例b[] = {0,0,1,1,4}。那么该如何去求得b[i]呢？

解法1: 只需要先将数组a倒过来编号，即将a转换为，a[] ={4,1,3,2,5}.此时具体的操作如应用一

以下数组下标均默认从1开始

应用一

具体操作

for(int i=1; i<=n; i++)

{

b[i] = getSum(a[i]); //求前a[i]项的和

update(a[i],1); //第a[i]个元素+1

}

应用二

解法1: 只需要先将数组a倒过来编号，即将a转换为，a[] ={4,1,3,2,5}.此时具体的操作如应用一

解法2:改变更新路径和求和路径

 void update(int x, int val)

 {

     for(int i=x; i>; i-=lowbit(i))

     {

         sum[i] += val;

     }

 }

 int getSum(int x)

 {

     int s = ;

     for(int i=x; i<MAXN; i+=lowbit(i))

     {

         s += sum[i];

     }

     return s;

 }

应用三逆序数

假如给你一个数组a[ ] = {2,5,3,4,1},求b[i]，b[i] 表示在a[i],a[i+1]...a[n]中(即位置i的右边)小于等于a[i]的数的个数。对此例b[] = {1,3,1,1,0}。那么该如何去求得b[i]呢？

操作：应用一位置i的左边，应用三是位置i的右边。然后只需要在应用一的基础上从后往前操作即可

 for(int i=n; i>=; i--)

 {

 b[i] = getSum(a[i]); //求前a[i]项的和

 update(a[i],);      //第a[i]个元素+1

 }

应用四

假如给你一个数组a[ ] = {2,5,3,4,1},求b[i]，b[i] 表示在a[i],a[i+1]...a[n]中(即位置i的右边)大于等于a[i]的数的个数。对此例b[] = {3,0,1,0,0}。那么该如何去求得b[i]呢？

操作：只需将数组a倒过来编号,即将a转化为 a[]={4,1,3,2,5} 然后利用应用三

二维树状数组

 int lowbit(int x)

 {

     return x&(-x);

 }

 void update(int x, int y, int val) //将 a[x][y] 的值增加val

 {

     for(int i=x; i<N; i+=lowbit(i))

     {

         for(int j=y; j<N; j+=lowbit(j))

         {

             sum[i][j] += val;

         }

     }

 }

 int getSum(int x, int y) //求以1,1为左上角端点,学校，x,y为右下角端点的矩阵和.

 {

     int s = ;

     for(int i=x; i>; i-=lowbit(i))

     {

         for(int j=y; j>; j-=lowbit(j))

         {

             s += sum[i][j];

         }

     }

     return s;

 }