LeetCode——1799. N 次操作后的最大分数和[Maximize Score After N Operations][困难]——分析及代码[Java]
一、题目
给你 nums ，它是一个大小为 2 * n 的正整数数组。你必须对这个数组执行 n 次操作。
在第 i 次操作时（操作编号从 1 开始），你需要：
- 选择两个元素 x 和 y 。
- 获得分数 i * gcd(x, y) 。
- 将 x 和 y 从 nums 中删除。
请你返回 n 次操作后你能获得的分数和最大为多少。
函数 gcd(x, y) 是 x 和 y 的最大公约数。
示例 1：
输入：nums = [1,2]
输出：1
解释：最优操作是：
(1 * gcd(1, 2)) = 1
示例 2：
输入：nums = [3,4,6,8]
输出：11
解释：最优操作是：
(1 * gcd(3, 6)) + (2 * gcd(4, 8)) = 3 + 8 = 11
示例 3：
输入：nums = [1,2,3,4,5,6]
输出：14
解释：最优操作是：
(1 * gcd(1, 5)) + (2 * gcd(2, 4)) + (3 * gcd(3, 6)) = 1 + 4 + 9 = 14
提示：
- 1 <= n <= 7
- nums.length == 2 * n
- 1 <= nums[i] <= 10^6
来源：力扣（LeetCode）
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二、分析及代码
1. 预处理 + 状态压缩 + 动态规划
（1）思路
先对 nums 中所有数字组合的最大公约数进行预计算并存储，避免后续处理过程中反复计算。
将所有数字的选取状态用二进制方法进行压缩，第 i 位为 1 表示选取了该 nums[i]，0 表示未选取 nums[i]。
结合动态规划方法，对每个状态根据其最新一组可能选择的数字，计算其操作后的最大值。
（2）代码
class Solution {
public int maxScore(int[] nums) {
int n = nums.length;
int[][] gcdNum = new int[n][n];//预处理记忆化
for (int i = 0; i < n; i++)
for (int j = i + 1; j < n; j++)
gcdNum[i][j] = gcd(nums[i], nums[j]);//得到任意2数间的最大公约数
int range = 1 << n;//二进制状态压缩
int[] dp = new int[range];
Arrays.fill(dp, 0);
for (int i = 0; i < range; i++) {
int cnt = count(i);//计算二进制中1的个数
if ((cnt & 1) == 1)//选取了奇数个数，不符合条件，直接跳过
continue;
for (int j = 0; j < n; j++)//遍历最后一轮2个数可能的选择
for (int k = j + 1; k < n; k++) {
int state = (1 << j) | (1 << k);//二进制状态压缩
if ((state & i) != state)//这2个数不全在当前状态选择范围内，跳过
continue;
dp[i] = Math.max(dp[i], dp[i - state] + gcdNum[j][k] * (cnt >> 1));//动态规划
}
}
return dp[range - 1];
}
//辗转相除法求最大公约数
public int gcd(int num1, int num2) {
int diff = 0;
while (num2 != 0) {
diff = num1 % num2;
num1 = num2;
num2 = diff;
}
return num1;
}
//计算二进制中1的个数
public int count(int num) {
int cnt = 0;
while (num > 0) {
num = num & (num - 1);
cnt++;
}
return cnt;
}
}
（3）结果
执行用时 ：37 ms，在所有 Java 提交中击败了 72.53% 的用户；
内存消耗 ：37.5 MB，在所有 Java 提交中击败了 52.19% 的用户。
三、其他
暂无。