线性代数之——傅里叶级数

这部分我们从有限维扩展到无限维,在无限维空间中线性代数依然有效。首先,我们来回顾一下,我们一开始是以向量、点积和线性组合进行展开的。现在我们开始将这些基本的概念转化到无限维的情况,然后再继续深入探索。

一个向量有无限多的元素是什么意思呢?有两种答案,都非常好。

  • 向量变成 \(\boldsymbol v=(v_1,v_2,v_3,\cdots)\),比如 \((1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\cdots)\)
  • 向量变成一个函数 \(f(x)\),比如 \(sin \space x\)

很自然,两个无限维向量的点积是一个无限维的级数:

线性代数之——傅里叶级数

但是这带来了一个新问题,这个无限的和加起来会是一个有限的数字吗?这个级数收敛吗?这是有限和无限第一个并且是最大的差异。如果 \(\boldsymbol v=\boldsymbol w=(1,1,1,\cdots)\),和肯定不收敛,这时候 \(\boldsymbol v\cdot \boldsymbol w = \boldsymbol v \cdot \boldsymbol v=||v||^2\),也就是说向量的长度为无穷,我们不想要这样的向量。因为我们可以制定规则,所以我们不用包含它,这里我们只允许长度有限的向量。

向量 \(\boldsymbol v=(v_1,v_2,v_3,\cdots)\) 位于我们的有限维希尔伯特(Hilbert)空间当且仅当它的长度是有限的。

向量 \(\boldsymbol v=(1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\cdots)\) 位于希尔伯特空间,因为它的长度为 \(2/\sqrt{3}\)。

线性代数之——傅里叶级数

如果两个向量的长度都是有限的,那么我们可以放心地进行点乘,施瓦茨不等式依然成立,而且它们之间夹角余弦的绝对值始终小于 1。

线性代数之——傅里叶级数

现在我们来看函数,它们可以看作是“向量”,定义在 \(0\leqslant x \leqslant 2\pi\) 上的函数空间 \(f(x),g(x),h(x),\cdots\) 肯定比 \(\boldsymbol R^n\) 大。\(f(x)\) 和 \(g(x)\) 的点积是什么呢?\(f(x)\) 的长度是多少呢?连续情况下的关键是:用积分替代求和

线性代数之——傅里叶级数

函数的定义区间可以任意改变,这里是为了使用三角函数才选择的 \(0\leqslant x \leqslant 2\pi\)。

线性代数之——傅里叶级数

更重要的是,\(sin\space x\) 和 \(cos\space x\) 在函数空间是正交的。

线性代数之——傅里叶级数

这种正交性不仅仅存在于这两个函数之间,\(cos\space 0x=1,sin\space x,cos\space x,sin\space 2x,cos\space 2x,\cdots\),上述列表中的每一个函数都和其余函数正交

一个函数的傅里叶级数就是将其展开成正弦和余弦的形式。

线性代数之——傅里叶级数

这些正弦和余弦基是正交的,函数空间中的向量则可以表示为它们的线性组合。这些基是周期函数,周期为 \(2\pi\)。一个典型函数的长度可以这样计算:

线性代数之——傅里叶级数

第一行平方展开后,类似 \(sin\space x*cos\space x\) 的项积分后都为零,只留下了自身的平方项。如果将这些基除以它们的长度,那么我们就得到了一组标准正交基。

线性代数之——傅里叶级数

然后,用一组系数 \(A_0,A_1,B_1,A_2,\cdots\) 对这些基进行组合我们就可以得到 \(F(x)\),此时再求长度我们就可以丢掉那些 \(\pi\) 和 \(2\pi\) 了。

线性代数之——傅里叶级数

函数有有限的长度如果这些系数都是有限的话,傅里叶级数给出了函数空间和有限维西尔伯特空间的一个完美匹配。

那给定一个函数,我们怎么知道它的傅里叶系数呢?

线性代数之——傅里叶级数

比如我们想知道 \(a_1\),那么我们可以对上式两边同时乘以 \(cos\space x\),然后在 \([0, 2\pi]\) 上进行积分。由于正交性,其余项的积分都变成了零,只留下了 \(a_1\) 对应的项。

线性代数之——傅里叶级数

同理,我们可以求得所有的系数。

线性代数之——傅里叶级数

在有限维情况下,如果我们拥有一组标准正交基,那么我们可以很容易地计算出系数,而傅里叶级数就像是一个有着无穷列的正交矩阵。

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