周期信号的傅里叶级数表示

1. 线性时不变系统对复指数信号的响应

在研究 \(LTI\)(Linear and Time-invariant System)系统时,将信号表示成基本信号的线性组合是很有利的,但这些基本信号应该具有以下两个性质:

  • 由这些基本信号能够构成相当广泛的一类有用信号;
  • \(LTI\) 系统对每一个基本信号的响应应该十分简单,以使得系统对任意输入信号的响应有一个很方便的表示式。

傅里叶分析的很多重要价值都来自于这一点,即连续和离散时间复指数信号集都具有上述两个性质,即连续时间的\(e^{st}\) 和离散时间的 \(z^n\),其中 \(s\) 和 \(z\) 都是复数。

在研究 \(LTI\) 系统时,复指数信号的重要性在于这样一个事实,即一个 \(LTI\) 系统对复指数信号的响应也是同样一个复指数信号,不同的只是幅度上的变化,也就是说:

 

\[连续时间:e^{st} \to H(s)e^{st} \]

 

 

\[离散时间:z^{n} \to H(z)z^{n} \]

 

这里 \(H(s)\) 或 \(H(z)\) 是一个复振幅因子,一般来说是复变量 \(s\) 或 \(z\) 的函数。一个信号,若系统对该信号的输出响应仅是一个常数乘以输入,则称该信号为系统的特征函数,而幅度因子称为系统的特征值

现考虑一个单位冲激响应为 \(h(t)\) 的连续时间 \(LTI\) 系统,对任意输入 \(x(t)\),可由卷积积分来确定输出,若令 \(x(t)=e^{st}\),则有

 

\[\tag 1 y(t) = \int_{-\infty}^{+\infty}h(\tau)x(t-\tau)d\tau = \int_{-\infty}^{+\infty}h(\tau)e^{s(t-\tau)}d\tau = e^{st}\int_{-\infty}^{+\infty}h(\tau)e^{-s\tau}d\tau \]

 

假设 (1)式右边的积分收敛,于是系统对 \(x(t)\) 的响应就为

 

\[\tag 2 y(t) = H(s) e^{st} \]

 

式中 \(H(s)\) 是一个复常数,其值决定于 \(s\),并且它与系统单位冲激响应的关系为

 

\[\tag 3 H(s) =\int_{-\infty}^{+\infty}h(\tau)e^{-s\tau}d\tau \]

 

可以完全用并行的方式证明,复指数序列也是离散时间 \(LTI\) 系统的特征函数。这就是说单位脉冲响应为 \(h[n]\) 的 \(LTI\) 系统,其输入序列为

 

\[\tag 4 x[n] = z^{n} \]

 

式中 \(z\) 为某一复数,由卷积和可以确定系统的输出为

 

\[\tag 5 y[n] = \sum_{k=-\infty}^{+\infty}h[k]x[n-k] = \sum_{k=-\infty}^{+\infty}h[k]z^{n-k} = z^n\sum_{k=-\infty}^{+\infty}h[k]z^{-k} \]

 

假设 (5)式右边的求和收敛,于是系统对 \(x[n]\) 的响应就为

 

\[\tag 6 y[n] = H(z) z^{n} \]

 

式中 \(H(z)\) 是一个复常数,为

 

\[\tag 7 H[z] =\sum_{k=-\infty}^{+\infty}h[k]z^{-k} \]

 

针对更一般的情况,若一个连续时间 \(LTI\) 系统的输入表示成复指数的线性组合,即

 

\[\tag 8 x(t) = \sum_k a_k e^{s_kt} \]

 

那么输出就一定是

 

\[\tag 9 y(t) = \sum_k a_kH(s_k) e^{s_kt} \]

 

对于离散情况,完全类似,若一个离散时间 \(LTI\) 系统的输入表示成复指数的线性组合,即

 

\[\tag {10} x[n] = \sum_k a_k z_k^n \]

 

那么输出就一定是

 

\[\tag {11} y[n] = \sum_k a_kH(z_k) z_k^n \]

 

2. 连续时间周期信号的傅里叶级数表示

2.1. 成谐波关系的复指数信号的线性组合

周期复指数信号

 

\[\tag{12}x(t) = e^{j \omega_0 t} \]

 

的基波频率为 \(\omega_0\),基波周期 \(T=2\pi / \omega_0\)。与之有关的成谐波关系的复指数信号集就是

 

\[\tag{13}\phi_k(t) = e^{j k\omega_0 t}=e^{j k(2\pi / T) t}, k=0, \pm1, \pm2,\cdot \cdot \cdot \]

 

这些信号中的每一个都有一个基波频率,它是 \(\omega_0\) 的倍数。因此每个信号对周期 \(T\) 来说都是周期的。于是,一个由成谐波关系的复指数信号线性组合形成的信号

 

\[\tag{14}x(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty}a_ke^{j k\omega_0 t}=\sum_{k=-\infty}^{\infty}a_ke^{j k(2\pi / T) t} \]

 

对周期 \(T\) 来说也是周期的。 在式(14)中,\(k=0\) 这一项是个常数,\(k=+1\) 和 \(k=-1\)这两项都有基波频率等于 \(\omega_0\),两者合在一起称之为基波分量或称一次谐波分量。\(k=+2\) 和 \(k=-2\) 这两项也是周期的,其频率是基波频率的两倍,称为二次谐波分量。一般来说,\(k=+N\) 和 \(k=-N\) 的分量称为第 \(N\) 次谐波分量。

一个周期信号表示成式(14)的形式,就称为傅里叶级数表示。

周期信号的傅里叶级数表示
周期信号的傅里叶级数表示

2.2. 连续时间周期傅里叶级数表示的确定

假设一个给定的周期信号能表示成式(14)的形式,这就需要一种办法来确定这些系数 \(a_k\),将式(14)两边各乘以 \(e^{-jn\omega_0t}\),可得

 

\[\tag{15} x(t) e^{-jn\omega_0t}= \sum_{k=-\infty}^{\infty}a_ke^{j k\omega_0 t}e^{-jn\omega_0t} \]

 

将上式两边从 0 到 \(T=2\pi/ \omega_0\)对 \(t\) 积分,有

 

\[\tag{16} \int _0^Tx(t) e^{-jn\omega_0t}dt= \int _0^T\sum_{k=-\infty}^{\infty}a_ke^{j k\omega_0 t}e^{-jn\omega_0t}dt \]

 

这里 \(T\) 是 \(x(t)\) 的基波周期,以上就是在该周期内积分。将上式右边的积分和求和次序交换后得

 

\[\tag{17} \int _0^Tx(t) e^{-jn\omega_0t}dt= \sum_{k=-\infty}^{\infty}a_k\int _0^Te^{j (k-n)\omega_0 t}dt \]

 

式(17)右边括号里的积分是很容易的,为此利用欧拉公式可得

 

\[\tag{18} \int _0^Te^{j (k-n)\omega_0 t}dt=\int _0^T cos(k-n)\omega_0 tdt+j\int _0^T sin(k-n)\omega_0 tdt \]

 

对于 \(k\not= n\),\(cos(k-n)\omega_0 t\) 和 \(sin(k-n)\omega_0 t\)都是周期函数,其基波周期为 \((T/|k-n|)\)。现在做的积分是在 \(T\) 区间内进行,而 \(T\) 又一定是它们的基波周期 \((T/|k-n|)\) 的整数倍。由于积分可以看做是被积函数在积分区间内所包括的面积,所以式(18) 右边的两个积分对于 \(k\not= n\) 来说,其值为 0;而对 \(k= n\),式左边的被积函数是 1,所以其积分值为 \(T\) 。综合上述得到

 

\[\tag{19}\int _0^Te^{j (k-n)\omega_0 t}dt= \begin{cases} T, &\text k=n \\ 0, &\text k\not=n \end{cases}\]

 

这样式(17)的右边就变成了 \(Ta_n\),因此有

 

\[\tag{20} a_n = \frac{1}{T}\int _0^Tx(t)e^{-j n\omega_0 t}dt \]

 

另外,在求式(18)时我们仅仅用到了积分是在一个 \(T\) 的时间间隔内进行,而该 \(T\) 又是 \(cos(k-n)\omega_0 t\) 和 \(sin(k-n)\omega_0 t\) 周期的整数倍。因此,如果是在任意 \(T\) 的间隔做积分,结果应该是相同的。也就是说,若以 \(\int _T\) 表示在任意一个 \(T\) 间隔内的积分,则应该有

 

\[\tag{21}\int _Te^{j (k-n)\omega_0 t}dt= \begin{cases} T, &\text k=n \\ 0, &\text k\not=n \end{cases}\]

 

因此

 

\[\tag{22} a_n = \frac{1}{T}\int _Tx(t)e^{-j n\omega_0 t}dt \]

 

上述过程可归结下:如果 \(x(t)\) 能表示成一组成谐波关系的复指数信号的线性组合,那么傅里叶级数中系数就由式(22)所确定,这一对关系就定义为一个周期连续信号的傅里叶计数。

 

\[\boxed{x(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty}a_ke^{j k\omega_0 t}=\sum_{k=-\infty}^{\infty}a_ke^{j k(2\pi / T) t} \\ a_k = \frac{1}{T}\int _Tx(t)e^{-j k\omega_0 t}dt=\frac{1}{T}\int _Tx(t)e^{-j k(2\pi/T) t}dt} \]

 

第一个式子称为综合公式,第二个式子称为分析公式。系数 \({a_k}\) 往往称为 \(x(t)\) 的傅里叶级数系数或频谱系数

  • 例 1
    周期信号的傅里叶级数表示
    周期信号的傅里叶级数表示
  • 例 2
    周期信号的傅里叶级数表示
    周期信号的傅里叶级数表示
    周期信号的傅里叶级数表示
2.3. 傅里叶级数的收敛

对于任何周期信号,我们总是能利用式(22)求得一组傅里叶系数。然而,在某些情况下式(22)的积分可能不收敛,也就是说求得的某些系数可能是无穷大。再者,即使求得的全部系数都是有限值,当把这些系数代入式(14)时所得到的无限项级数也可能不收敛于原信号。

狄里赫利条件

  1. 在任何周期内,\(x(t)\) 必须绝对可积,即

 

\[\tag{23}\int_T|x(t)|dt < \infty \]

 

这一条件保证了每一系数 \(a_k\) 都是有限值,因为

 

\[\tag{24}|a_k| \leqslant \frac{1}{T}\int_T|x(t)e^{jk\omega_0t}|dt=\frac{1}{T}\int_T|x(t)|dt \]

 

不满足狄里赫利第一条件的周期信号可以举例如下:

 

\[\tag{25}x(t)=\frac{1}{t}, 0<t\leqslant1 \]

 

周期信号的傅里叶级数表示

  1. 在任意有限区间内,\(x(t)\) 具有有限个起伏变化,也就是说,在任何单个周期内,\(x(t)\) 的最大值和最小值的数目有限

满足条件 1 而不满足条件 2 的一个函数是

 

\[\tag{26}x(t)=sin(\frac{2\pi}{t}),0<t\leqslant1 \]

 

周期信号的傅里叶级数表示

  1. 在 \(x(t)\) 的任何有限区间内,只有有限个不连续点,而且在这些不连续点上,函数都是有限值

不满足条件 3 的一个例子如下所示,这个信号的周期为 \(T=8\),它是这样组成的:后一个阶梯的高度和宽度都是前一个阶梯的一半。

周期信号的傅里叶级数表示

2.4. 傅里叶级数的性质

周期信号的傅里叶级数表示

3. 离散时间周期信号的傅里叶级数表示

3.1. 成谐波关系的复指数信号的线性组合

周期复指数信号

 

\[\tag{27}x[n] = e^{j (2 \pi/N)n} \]

 

基波频率为 \(\omega_0 = 2\pi / N\),基波周期为 \(N\)。与之有关的成谐波关系的复指数信号集就是

 

\[\tag{28}\phi_k[n] = e^{j k\omega_0 n}=e^{j k(2\pi / N) n}, k=0, \pm1, \pm2,\cdot \cdot \cdot \]

 

这些信号中的每一个都有一个基波频率,它是 \(2\pi / N\) 的倍数。由式(28)给出的信号集中只有 \(N\) 个信号是不相同的,这是由于离散时间复指数信号在频率上相差 \(2\pi / N\) 的整数倍都是一样的缘故。因此有

 

\[\tag{29}\phi_k[n] = \phi_{k+rN}[n] \]

 

这就是说,当 \(k\) 变化一个的 \(N\) 整数倍时,就得到一个完全一样的序列。现在我们希望利用序列 \(\phi_k[n]\) 的线性组合来表示更一般的周期序列,这样一个线性组合就有如下形式

 

\[\tag{30}x[n] = \sum_{k}a_k\phi_k[n]=\sum_{k}a_ke^{j k\omega_0 n}=\sum_{k}a_ke^{j k(2\pi / N) n} \]

 

因为序列 \(\phi_k[n]\) 只有在 \(k\) 的 \(N\) 个相继值的区间是不同的,因此,式(30)的求和仅仅需要包括 \(N\) 项。为了指出这一点,特将求和限表示成 \(k=<N>\),即

 

\[\tag{31}x[n] = \sum_{k=<N>}a_k\phi_k[n]=\sum_{k=<N>}a_ke^{j k\omega_0 n}=\sum_{k=<N>}a_ke^{j k(2\pi / N) n} \]

 

譬如说,\(k\) 即可以取 \(k=0, 1, 2,\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot, N-1\),也可以取 \(k=3, 4, \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot, N+2\),不管怎样取,式(31)右边的求和都是一样的。式(31)称为离散时间傅里叶级数,而系数 则称为傅里叶级数系数

3.2. 离散时间周期傅里叶级数表示的确定

离散时间傅里叶级数对就为

 

\[\boxed{x[n] =\sum_{k=<N>}a_ke^{j k\omega_0 n}=\sum_{k=<N>}a_ke^{j k(2\pi / N) n} \\ a_k = \frac{1}{N}\sum_{k=<N>}x[n]e^{-j k\omega_0 n}=\frac{1}{N}\sum_{k=<N>}x[n]e^{-j k(2\pi/N) n}} \]

 

和连续时间周期信号一样,第一个式子称为综合公式,第二个式子称为分析公式。系数 \({a_k}\) 往往称为 \(x[n]\) 的频谱系数

再回到式(31),我们看到若从 0 到 \(N-1\) 范围内取 \(k\),则有

 

\[\tag{32}x[n]=a_0\phi_0[n]+a_1\phi_1[n]+ \cdot \cdot \cdot+a_{N-1}\phi_{N-1}[n] \]

 

相类似地,若从 1 到 \(N\) 范围内取 \(k\),则有

 

\[\tag{33} x[n]=a_1\phi_1[n]+a_2\phi_2[n]+ \cdot \cdot \cdot+a_{N}\phi_{N}[n] \]

 

因为 $ \phi_0[n] = \phi_N[n]$,将式(32)和式(33)作一比较,就可以得出 \(a_0 = a_{N}\)。类似地,若 \(k\) 取任何一组 \(N\) 个相连的整数,就一定有

 

\[\tag{34} a_k = a_{k+N} \]

 

这就是说,倘若我们考虑的 \(k\) 值多余 \(N\) 的话,那么 \(a_k\) 的值必定以 \(N\) 为周期,周期性重复

  • 例 1
    周期信号的傅里叶级数表示
3.3. 离散时间傅里叶级数的性质

周期信号的傅里叶级数表示


周期信号的傅里叶级数表示

   
上一篇:【论文阅读笔记】从ResNet到ResNeXt


下一篇:机器学习基础整理 (第七章) - 卷积神经网络