#【组合恒等式】$\sum_{k=0}^{r}C_m^k \times C_{n}^{r-k}=C_{m+n}^r$

【组合恒等式】\(\sum_{k=0}^{r}C_m^k \times C_{n}^{r-k}=C_{m+n}^r\)

#【组合恒等式】$\sum_{k=0}^{r}C_m^k \times C_{n}^{r-k}=C_{m+n}^r$

问题模型:

P舞团将从M舞团和N舞团共选拔出r个人来加入到P舞团,求问一共有多少种选法?

思路一:

在M中选x人,那么就在N中选r-x人最终只需对所有情况取个西格玛,即\(\sum_{k=0}^{r}C_m^{k}\times C_n^{r-k}\)。

思路二:

直接在M、N组成的整体中直接去选取r个人,即\(C_{m+n}^{r}\)

由于这两种思路都是正确的,故而由这两个式子算出来的结果是相等的。

此外,需要注意的是在运用这个公式需要注意一下是否满足\(r<=min(m,n)\)这个前提条件。

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