假设对于第\(i\)个人，他的成绩已经定了下来，为\(g_{i}\)，概率为\(P_{i}\)

剩下的所有人排成一行，信息如下

分数比\(g_{i}\)大的概率：\(\space\) \(\space\) \(\space\) \(\space\) \(\space\) \(\space\) \(\space\) \(k_{1}\) \(\space\) \(\space\) \(\space\) \(k_{2}\) \(\space\) \(\space\) \(\space\) \(\space\) \(k_{3}\) ... \(\space\) \(\space\) \(\space\) \(k_{n-1}\)
分数小于等于\(g_{i}\)：\(\space\) \(\space\) \(\space\) \(\space\) \(\space\) \(\space\) \(\space\) \(\space\) \(1-k_{1}\) \(1-k_{2}\) \(1-k_{3}\) ... \(1-k_{n-1}\)

显然样本点由这\(n-1\)个人组成，设第一个人为\(k_{1}\)的样本点集合为\(S\)

后面显然有\(2^{n-2}\)种样本点（每个人要么分数大于\(g_{i}\)，要么小于等于）。所以集合\(S\)的大小就是\(2^{n-2}\)（这\(2^{n-2}\)个样本点前面放上\(k_{1}\)组成\(S\)）

假设这\(2^{n-2}\)个样本点（不算第一个人），每种的概率为\(p_{i}\)，有\(x_{i}\)个人比\(g_{i}\)大

那么算上第一个人（此时第一个人的分数比\(g_{i}\)高），每种的概率为\(k_{1}\times p_{i}\)，有\(x_{i}+1\)个人比\(g_{i}\)大

算上第一个人（此时第一个人的分数比\(g_{i}\)低或等于），每种的概率为\((1-k_{1})\times p_{i}\)，有\(x_{i}\)个人比\(g_{i}\)大

那么上面就是\(S\)的所有样本点

那么对于第\(i\)个人来说，他的期望排名（按照期望计算的定义，不用太复杂）在此人成绩为\(g_{i}\)时为每个样本点的权值（有多少个人比\(g_{i}\)大）乘以此样本点的概率之和加一

化简之后易得为\(k_{1}+\sum_{i=1}^{2^{n-2}}p_{i}\times x_{i}+1\)

那么对于\(\sum_{i=1}^{2^{n-2}}p_{i}\times x_{i}\)采取同样的方式计算，将所有人计算完，则可得为\(\sum_{i=1}^{n-1}k_{i}+1\)

那么在对第\(i\)个人得不同成绩的情况分别计算，乘以概率即可得到数学期望排名