BZOJ_4004_[JLOI2015]装备购买_线性基

2024-02-12 19:23:04

Description

脸哥最近在玩一款神奇的游戏，这个游戏里有 n 件装备，每件装备有 m 个属性，用向量zi(aj ,.....,am) 表示

(1 <= i <= n; 1 <= j <= m)，每个装备需要花费 ci，现在脸哥想买一些装备，但是脸哥很穷，所以总是盘算着

怎样才能花尽量少的钱买尽量多的装备。对于脸哥来说，如果一件装备的属性能用购买的其他装备组合出（也就是

说脸哥可以利用手上的这些装备组合出这件装备的效果），那么这件装备就没有买的必要了。严格的定义是，如果

脸哥买了 zi1,.....zip这 p 件装备，那么对于任意待决定的 zh，不存在 b1,....,bp 使得 b1zi1 + ... + bpzi

p = zh（b 是实数），那么脸哥就会买 zh，否则 zh 对脸哥就是无用的了，自然不必购买。举个例子,z1 =(1; 2;

3);z2 =(3; 4; 5);zh =(2; 3; 4)，b1 =1/2，b2 =1/2，就有 b1z1 + b2z2 = zh，那么如果脸哥买了 z1 和 z2

就不会再买 zh 了。脸哥想要在买下最多数量的装备的情况下花最少的钱，你能帮他算一下吗？

Input

第一行两个数 n;m。接下来 n 行，每行 m 个数，其中第 i 行描述装备 i 的各项属性值。接下来一行 n 个数，

其中 ci 表示购买第 i 件装备的花费。

Output

一行两个数，第一个数表示能够购买的最多装备数量，第二个数表示在购买最多数量的装备的情况下的最小花费

Sample Input

3 3
1 2 3
3 4 5
2 3 4
1 1 2

Sample Output

2 2

HINT

如题目中描述，选择装备 1 装备 2，装备 1 装备 3，装备 2 装备 3 均可，但选择装备 1 和装备 2 的花费最小，为 2。对于 100% 的数据, 1 <= n;m <= 500; 0 <= aj <= 1000。

线性基是拟阵，拟阵最优化问题使用贪心。

高斯消元一遍，每次把这一项的系数不是0并且花钱数最少的装备拿出来消去其他项。

可以证明最后的结果一定是最优的。

代码：

#include <stdio.h>

#include <string.h>

#include <algorithm>

using namespace std;

#define eps 1e-6

typedef long double f2;

int n,m;

f2 a[510][510];

f2 fabs(f2 x){return x>0?x:-x;}

void Gauss() {

    int i,j,k,mx;

    f2 ans=0;

    int cnt=0;

    for(i=1;i<=m;i++) {

        mx=0;

        for(j=i;j<=n;j++) {

            if(fabs(a[j][i])>eps) {

                if(!mx) mx=j;

                else if(a[j][m+1]<a[mx][m+1]) mx=j;

            }

        }

        if(!mx) continue;

        ans+=a[mx][m+1]; cnt++;

        for(j=i;j<=m+1;j++) swap(a[i][j],a[mx][j]);

        for(j=i+1;j<=n;j++) {

            f2 tmp=-(a[j][i]/a[i][i]);

            a[j][i]=0;

            for(k=i+1;k<=m;k++) a[j][k]+=tmp*a[i][k];

        }

    }

    printf("%d %.0Lf\n",cnt,ans);

}

int main() {

    scanf("%d%d",&n,&m);

    int i,j;

    for(i=1;i<=n;i++) {

        for(j=1;j<=m;j++) {

            scanf("%Lf",&a[i][j]);

        }

    }

    for(i=1;i<=n;i++) scanf("%Lf",&a[i][m+1]);

    Gauss();

}

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