HDU Count the string+Next数组测试函数

链接:http://www.cnblogs.com/jackge/archive/2013/04/20/3032942.html

题意:给定一字符串,求它所有的前缀出现的次数的和。
这题很纠结,一开始不知道怎么做,如果直接统计子串在主串中出现的次数,orz···肯定
TLE,后来发现这题可以直接从next数组入手,因为next数组表示的是子串中最长公共前后缀串的长度,如果用dp[i]表示该字符串前i个字符中出
现任意以第i个字符结尾的前缀的次数,它的递推式是
dp[i]=dp[next[i]]+1,即以第i个字符结尾的前缀数等于以第next[i]个字符为结尾的前缀数加上它自己本身,这里要好好理解一下,不
太好解释。
举个例子:
              i  1 2 3 4 5 6
        字符串  a b a b a b
        dt[i]  1 1 2 2 3 3
        aba中出现的前缀为a,aba,所以dt[3]是2,ababa中出现的前缀为a,aba,ababa,所以dp[5]是3,当i=5时,next[5]=3,所以dp[i]=dp[next[i]]+1
理解了上面的部分就很简单了,后面直接套next数组的模板

第二次理解:

  弄出next数组,之后其中的值就是要跳回去的位置,比如 ababab 0 0 1 2 3 4 当i=1,就跳到0的位置加一个,i=2,跳到0的位置加一个,i=3跳到1的位置加一个,(并且1的位置已经有一个了)所以就是2,以此类推……

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std; const int INF=0x3f3f3f3f;
typedef long long LL;
#define PI(A) printf("%d\n",A)
#define SI(N) scanf("%d",&(N))
#define SII(N,M) scanf("%d%d",&(N),&(M))
#define cle(a,val) memset(a,(val),sizeof(a))
#define rep(i,b) for(int i=0;i<(b);i++)
#define Rep(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
#define reRep(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);i--)
const double EPS= 1e- ; /* ///////////////////////// C o d i n g S p a c e ///////////////////////// */ const int MAXN= + ; //kuangbin 模板
void kmp_pre(char x[],int m,int Next[])
{
int i,j;
j=Next[]=-;
i=;
while(i<m)
{
while(-!=j&&x[i]!=x[j]) j=Next[j];
Next[++i]=++j;
}
} char str[MAXN];
int Next[MAXN];
int dp[MAXN]; int M=; int main()
{
int o;
SI(o);
while(o--)
{
int n;
SI(n);
scanf("%s",str);
kmp_pre(str,n,Next);
int ans=;
Rep(i,,n)
{
dp[i]=dp[Next[i]]+;
ans=(ans+dp[i])%M;
}
PI(ans);
}
return ;
}

以下是next测试函数,可以自己测一下,有助于理解next原理

随便输入字符串,最后输出字符串,和对应next的值,

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std; const int INF=0x3f3f3f3f;
typedef long long LL;
#define PI(A) printf("%d\n",A)
#define SI(N) scanf("%d",&(N))
#define SII(N,M) scanf("%d%d",&(N),&(M))
#define cle(a,val) memset(a,(val),sizeof(a))
#define rep(i,b) for(int i=0;i<(b);i++)
#define Rep(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
#define reRep(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);i--)
const double EPS= 1e- ; /* ///////////////////////// C o d i n g S p a c e ///////////////////////// */ const int MAXN= + ; //kuangbin 模板
void kmp_pre(char x[],int m,int Next[])
{
int i,j;
j=Next[]=-;
i=;
while(i<m)
{
while(-!=j&&x[i]!=x[j]) j=Next[j];
Next[++i]=++j;
}
} char str[MAXN];
int Next[MAXN];
int dp[MAXN]; int M=; int main()
{
while(~scanf("%s",str))
{ kmp_pre(str,strlen(str),Next);
printf(" ");
rep(i,strlen(str))
{
printf("%c ",str[i]);
}puts("");
rep(i,strlen(str)+)
{
printf("%d ",Next[i]);
}puts("");
}
return ;
}

引用大牛的话:

  个人认为,next数组在求解的过程中,用到了KMP的思想,当前失配了,就回溯到上一个next,请见 j=next[j] ,先说个结论,如果到位置 i ,如果有

i%(i-next(i))==0 , 那说明字符串开始循环了,并且循环到 i-1 结束,为什么这样呢?

  我们先假设到达位置 i-1 的时候,字符串循环了(到i-1完毕),那么如果到第i个字符的时候,失配了,根据next数组的求法,我们是不是得回溯?

然而回溯的话,由于字符串是循环的了(这个是假定的),next[i] 是不是指向上一个循环节的后面一个字符呢??

是的,上一个循环节的末尾是 next[i]-1 ,然后现在循环节的末尾是 i-1 ,然么循环节的长度是多少呢?

所以,我们有 (i - 1) - ( next[i] - 1 ) = i - next[i]  就是循环节的长度(假设循环成立的条件下),但是我们怎么知道这个循环到底成立吗?

  现在我们已经假设了 0 — i-1 循环了,那么我们就一共有 i 个字符了,如果有 i % ( i - next[i] ) == 0,总的字符数刚好是循环节的倍数,那么说明这个循环是成立的。

注意还有一点,如果 next[i] == 0,即使符合上述等式,这也不是循环的,举个反例

0   1    2   3   4   5

a    b   c   a   b   d

-1   0   0   0   1   2

下标为1,2,3的next值均为0,那么 i%(i-next[i])=i%i==0,但是这个并不是循环。

解释完毕,然后再来看下,为什么求出来的循环节长度是最小的呢?

因为next数组失配的时候,总是回溯到最近的循环节,所以i-next[i]就是最小的循环节长度

为什么求出来的循环次数是最多的呢?

循环节长度是最小的了,那么循环次数肯定是最多的了。

总结一下:

如果对于next数组中的 i, 符合 i % ( i - next[i] ) == 0 && next[i] != 0 ,说明字符串循环,而且

循环节长度为:  i - next[i]  (因为i - next[i]比较小

循环次数为:  i / ( i - next[i] )  (因为总长是i,每节长i - next[i],所以次数就是i / ( i - next[i] )

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