关于 mmWave MIMO 和 IRS 的结合
参考文献：《Intelligent Reflecting Surface-Assisted Millimeter Wave Communications: Joint Active and Passive Precoding Design》
一点想法
之前一直在想将自己看过的毫米波通信与 IRS 有机结合起来做点小工作，发个小论文。但是由于毫米波的特点，好像结合起来不是那么直接。
成电这篇文章刚好作为一个启发。
毫米波通信以其丰富的频谱资源，能够支持千兆比特的无线接入。然而，
- 严重的路径损耗
- 较高的指向性
- 有限的信道秩
由于 mmWave 信号的波束宽度较窄，一个非常小的障碍物，比如一个人的手臂，就可以有效地阻断链路。为了解决这个问题，在之前的一些工作中，采用继电器来克服阻塞问题，提高 mmWave 信号的覆盖率。
智能反射面 IRS 是近年来提出的一种很有前途的新技术，通过软件控制反射来实现智能的、可编程的无线传输环境。具体来说，IRS 是由一种新开发的超材料制成的平面阵列，由大量可重构的无源元件组成。在智能微控制器的帮助下，每个元件都可以独立地反射入射信号，实现信号的可重构振幅和相移。通过巧妙地调整无源元件的相移，反射信号
- 可以在期望的接收端相干地增加信号功率
- 也可以在非期望的接收端破坏性地抑制干扰。
-
近年来，基于 IRS 的无线通信受到了广泛的关注。在 IRS 辅助系统中，一个关键问题是联合优化波束形成矢量和反射系数，目标是使接收信号功率最大化。
-
在基于 OFDM 的通信系统中也考虑了类似的问题，其目标是使可达速率最大化。研究了下行多用户场景下的 BS-IRS 联合优化问题。
-
无人机通信与无线功率传输系统。
受前面令人鼓舞的结果的启发，在本文中考虑了一个场景，其中部署多个 IRS 来辅助下行 mmWave 通信。研究了一种联合有源和无源预编码设计问题，其目标是通过联合优化发射预编码矢量和 IRS 用于无源波束形成的相移参数来最大限度地提高接收信号的功率。
然而这种有源和无源的联合预编码问题是非凸的，在以前的工作中已经研究过用于传统微波通信系统，其中部署了一个 IRS 来帮助从BS到用户的数据传输。
其他论文中，该非凸问题被松弛为一个凸半定规划 SDP 问题。然而，所提出的方法是次优的，没有一个解析解。此外，求解 SDP 问题通常需要较高的计算复杂度。
在本文中，我们将从 mmWave 通信的角度重新讨论这个联合有源和无源波束形成问题。结果表明，利用 mmWave 信道的一些重要特性，特别是 BS-IRS 信道的 rank-one 结构，可以得到单个 IRS 情况下的最优闭型解，同时也可以得到多个 IRS 情况下的最优解析解。
我们注意到，BS-IRS 信道的 rank-one 结构 也被用于 IRS 辅助的多用户系统，其中通过忽略 BS 和用户之间的链路来获得单用户设置的最优解。与其不同，我们的解决方案是通过假设存在 BS-用户链路推导出来的，我们还将联合有源和无源预编码解决方案扩展到多 IRS 场景。
模型
BS:
N
N
N 天线
IRS:
M
M
M 单元
User: 单天线用户
BS-IRS:
G
∈
C
M
×
N
\bm G \in \mathbb C^{M \times N}
G∈CM×N
BS-User:
h
d
∈
C
N
\bm h_d \in \mathbb C^{N}
hd∈CN
IRS-User:
h
r
∈
C
M
\bm h_r \in \mathbb C^{M}
hr∈CM
假设有
K
K
K 个 IRS，则
G
k
,
h
r
k
\bm G_k, \bm h_{rk}
Gk,hrk。
diagonal phase shift matrices：
Θ
k
=
diag
(
e
j
θ
k
,
1
,
…
,
e
j
θ
k
,
M
)
∀
k
\bm\Theta_{k}=\operatorname{diag}\left(e^{j \theta_{k, 1}}, \ldots, e^{j \theta_{k, M}}\right) \quad \forall k
Θk=diag(ejθk,1,…,ejθk,M)∀k
问题
y
=
(
∑
k
=
1
K
h
r
k
H
Θ
k
G
k
+
h
d
H
)
w
s
+
ϵ
y=\left(\sum_{k=1}^{K} \boldsymbol{h}_{r_{k}}^{H} \boldsymbol{\Theta}_{k} \boldsymbol{G}_{k}+\boldsymbol{h}_{d}^{H}\right) \boldsymbol{w} s+\epsilon
y=(k=1∑KhrkHΘkGk+hdH)ws+ϵ
其中
s
s
s 是传输信号建模为一个零均值和单位方差的随机变量；
ϵ
\epsilon
ϵ 是加性高斯白噪声，零均值和方差
σ
2
\sigma^2
σ2。
在很多文章中一直有这句话出现：在上面的模型中，由于 mmWave 传输的高路径损耗，被 IRS 反射两次或两次以上的信号将被忽略。
因此，在用户处接收到的信号功率为
γ
=
∣
(
∑
k
=
1
K
h
r
k
H
Θ
k
G
k
+
h
d
H
)
w
∣
2
\gamma=\left|\left(\sum_{k=1}^{K} \boldsymbol{h}_{r_{k}}^{H} \boldsymbol{\Theta}_{k} \boldsymbol{G}_{k}+\boldsymbol{h}_{d}^{H}\right) \boldsymbol{w}\right|^{2}
γ=∣∣∣∣∣(k=1∑KhrkHΘkGk+hdH)w∣∣∣∣∣2
优化问题为
max
w
,
{
Θ
k
}
∣
(
∑
k
K
h
r
k
H
Θ
k
G
k
+
h
d
H
)
w
∣
2
s.t.
∥
w
∥
2
2
≤
p
Θ
k
=
diag
(
e
j
θ
k
,
1
,
…
,
e
j
θ
k
,
M
)
∀
k
\begin{aligned} \max _{\boldsymbol{w},\left\{\boldsymbol{\Theta}_{k}\right\}} &\left|\left(\sum_{k}^{K} \boldsymbol{h}_{r_{k}}^{H} \boldsymbol{\Theta}_{k} \boldsymbol{G}_{k}+\boldsymbol{h}_{d}^{H}\right) \boldsymbol{w}\right|^{2} \\ \text { s.t. } &\|\boldsymbol{w}\|_{2}^{2} \leq p \\ & \boldsymbol{\Theta}_{k}=\operatorname{diag}\left(e^{j \theta_{k, 1}}, \ldots, e^{j \theta_{k, M}}\right) \quad \forall k \end{aligned}
w,{Θk}max s.t. ∣∣∣∣∣(k∑KhrkHΘkGk+hdH)w∣∣∣∣∣2∥w∥22≤pΘk=diag(ejθk,1,…,ejθk,M)∀k
思路
和前面的优化工作不同，在本文中，我们将利用 mmWave 信道的一些重要特性，从 mmWave 通信的角度重新探讨这个联合优化问题。
- 测量实验表明 mmWave LOS 路径的功率比 NLOS 路径的功率总和要高得多，大约高13dB。考虑到这一事实，我们希望确保 BS 和每个 IRS 之间的信道以 LOS 为主。
- 在实际中，通过了解 BS 的位置，可以正确安装 IRS，以便在 BS 和每个 IRS 之间有一个 LOS 路径。
- 因此，可以合理地假设从 BS 到每个 IRS 的信道可以近似为秩 1 矩阵。
G
k
=
λ
k
a
k
b
k
T
,
∀
k
\boldsymbol{G}_{k}=\lambda_{k} \boldsymbol{a}_{k} \boldsymbol{b}_{k}^{T}, \quad \forall k
Gk=λkakbkT,∀k
其中
a
k
\boldsymbol{a}_{k}
ak 和
b
k
\boldsymbol{b}_{k}
bk 表示归一化阵列响应向量。
single-IRS
这里用到了
- 对角矩阵乘法变换： a T ⋅ diag ( b ) ⋅ C = b T ⋅ diag ( a T ) ⋅ C \bm a^{\sf T} \cdot \text{diag}(\bm b) \cdot \bm C =\bm b^{\sf T} \cdot \text{diag}(\bm a^{\sf T})\cdot \bm C aT⋅diag(b)⋅C=bT⋅diag(aT)⋅C。
- 变体用到了哈达玛积： a T ⋅ diag ( b ) ⋅ c = b T ⋅ diag ( a T ) ⋅ c = b T ⋅ ( a ⊙ c ) \bm a^{\sf T} \cdot \text{diag}(\bm b) \cdot \bm c =\bm b^{\sf T} \cdot \text{diag}(\bm a^{\sf T})\cdot \bm c=\bm b^{\sf T} \cdot (\bm a \odot \bm c) aT⋅diag(b)⋅c=bT⋅diag(aT)⋅c=bT⋅(a⊙c)。
- 一个不等式关系： ∣ a e j α + b e j β ∣ 2 ≤ ∣ a ∣ 2 + ∣ b ∣ 2 + 2 ∣ a ∣ ⋅ ∣ b ∣ \vert a e^{j\alpha}+b e^{j\beta} \vert ^2 \leq \vert a\vert^2 +\vert b \vert^2+2\vert a\vert \cdot \vert b\vert ∣aejα+bejβ∣2≤∣a∣2+∣b∣2+2∣a∣⋅∣b∣。当 α = β \alpha=\beta α=β 时等号成立，由于 ∣ a e j α + b e j β ∣ 2 = a 2 + b 2 + 2 a b cos ( α − β ) \vert a e^{j\alpha}+b e^{j\beta} \vert ^2 =a^2+b^2+2ab\cos(\alpha-\beta) ∣aejα+bejβ∣2=a2+b2+2abcos(α−β)。
推出
∣
(
h
r
H
Θ
G
+
h
d
H
)
w
∣
2
=
∣
λ
h
r
H
Θ
a
b
T
w
+
h
d
H
w
∣
2
=
(
a
)
∣
η
θ
T
g
+
h
d
H
w
∣
2
=
(
b
)
∣
η
θ
‾
T
g
e
j
α
+
h
d
H
w
∣
2
≤
(
c
)
∣
η
θ
‾
T
g
∣
2
+
∣
h
d
H
w
∣
2
+
2
∣
η
θ
‾
T
g
∣
⋅
∣
h
d
H
w
∣
\begin{aligned}\left|\left(\boldsymbol{h}_{r}^{H} \bm \Theta \bm G+\boldsymbol{h}_{d}^{H}\right) \boldsymbol{w}\right|^{2} &=\left|\lambda \boldsymbol{h}_{r}^{H} \bm \Theta \bm a \bm b^{T} \boldsymbol{w}+\boldsymbol{h}_{d}^{H} \boldsymbol{w}\right|^{2} \\ & \stackrel{(a)}{=}\left|\eta \boldsymbol{\theta}^{T} \boldsymbol{g}+\boldsymbol{h}_{d}^{H} \boldsymbol{w}\right|^{2} \\ & \stackrel{(b)}{=}\left|\eta \overline{\boldsymbol{\theta}}^{T} \boldsymbol{g} e^{j \alpha}+\boldsymbol{h}_{d}^{H} \boldsymbol{w}\right|^{2} \\ & \stackrel{(c)}{ \leq}\left|\eta \overline{\boldsymbol{\theta}}^{T} \boldsymbol{g}\right|^{2}+\left|\boldsymbol{h}_{d}^{H} \boldsymbol{w}\right|^{2}+2\left|\eta \overline{\boldsymbol{\theta}}^{T} \boldsymbol{g}\right| \cdot\left|\boldsymbol{h}_{d}^{H} \boldsymbol{w}\right| \end{aligned}
∣∣∣(hrHΘG+hdH)w∣∣∣2=∣∣∣λhrHΘabTw+hdHw∣∣∣2=(a)∣∣∣ηθTg+hdHw∣∣∣2=(b)∣∣∣ηθTgejα+hdHw∣∣∣2≤(c)∣∣∣ηθTg∣∣∣2+∣∣∣hdHw∣∣∣2+2∣∣∣ηθTg∣∣∣⋅∣∣∣hdHw∣∣∣
其中
η
≜
b
T
w
,
g
≜
λ
(
h
r
∗
⊙
a
)
θ
≜
[
e
j
θ
1
…
e
j
θ
M
]
T
=
θ
‾
e
j
α
\begin{aligned} \eta &\triangleq \boldsymbol{b}^{T} \boldsymbol{w}, \quad \boldsymbol{g} \triangleq \lambda\left(\boldsymbol{h}_{r}^{*} \odot \boldsymbol{a}\right) \\ \boldsymbol{\theta} &\triangleq\left[e^{j \theta_{1}} \ldots e^{j \theta_{M}}\right]^{T} =\overline{\boldsymbol{\theta}} e^{j \alpha} \end{aligned}
ηθ≜bTw,g≜λ(hr∗⊙a)≜[ejθ1…ejθM]T=θejα
可以看出，不等式上界就是取等号：
∣
(
h
r
H
Θ
G
+
h
d
H
)
w
∣
2
≤
(
c
)
∣
η
θ
‾
T
g
∣
2
+
∣
h
d
H
w
∣
2
+
2
∣
η
θ
‾
T
g
∣
⋅
∣
h
d
H
w
∣
\begin{aligned}\left|\left(\boldsymbol{h}_{r}^{H} \bm \Theta \bm G+\boldsymbol{h}_{d}^{H}\right) \boldsymbol{w}\right|^{2} & \stackrel{(c)}{ \leq}\left|\eta \overline{\boldsymbol{\theta}}^{T} \boldsymbol{g}\right|^{2}+\left|\boldsymbol{h}_{d}^{H} \boldsymbol{w}\right|^{2}+2\left|\eta \overline{\boldsymbol{\theta}}^{T} \boldsymbol{g}\right| \cdot\left|\boldsymbol{h}_{d}^{H} \boldsymbol{w}\right| \end{aligned}
∣∣∣(hrHΘG+hdH)w∣∣∣2≤(c)∣∣∣ηθTg∣∣∣2+∣∣∣hdHw∣∣∣2+2∣∣∣ηθTg∣∣∣⋅∣∣∣hdHw∣∣∣
此时有
η
θ
‾
T
g
e
j
α
\eta \overline{\boldsymbol{\theta}}^{T} \boldsymbol{g} e^{j \alpha}
ηθTgejα 与
h
d
H
w
\boldsymbol{h}_{d}^{H} \boldsymbol{w}
hdHw 的相位相等：总能找到一个参数
α
\alpha
α，使得
angle
(
η
θ
‾
T
g
e
j
α
)
=
angle
(
h
d
H
w
)
\text{angle}(\eta \overline{\boldsymbol{\theta}}^{T} \boldsymbol{g} e^{j \alpha}) = \text{angle}(\boldsymbol{h}_{d}^{H} \boldsymbol{w})
angle(ηθTgejα)=angle(hdHw)。也就是说，总是存在一个参数
α
\alpha
α，使得问题
优化等价：
max
∣
(
h
r
H
Θ
G
+
h
d
H
)
w
∣
2
≜
max
∣
η
θ
‾
T
g
∣
2
+
∣
h
d
H
w
∣
2
+
2
∣
η
θ
‾
T
g
∣
⋅
∣
h
d
H
w
∣
\max \quad \begin{aligned}\left|\left(\boldsymbol{h}_{r}^{H} \bm \Theta \bm G+\boldsymbol{h}_{d}^{H}\right) \boldsymbol{w}\right|^{2} \triangleq \max \quad \left|\eta \overline{\boldsymbol{\theta}}^{T} \boldsymbol{g}\right|^{2}+\left|\boldsymbol{h}_{d}^{H} \boldsymbol{w}\right|^{2}+2\left|\eta \overline{\boldsymbol{\theta}}^{T} \boldsymbol{g}\right| \cdot\left|\boldsymbol{h}_{d}^{H} \boldsymbol{w}\right| \end{aligned}
max∣∣∣(hrHΘG+hdH)w∣∣∣2≜max∣∣∣ηθTg∣∣∣2+∣∣∣hdHw∣∣∣2+2∣∣∣ηθTg∣∣∣⋅∣∣∣hdHw∣∣∣
则问题是
max
w
,
θ
‾
∣
η
θ
‾
T
g
∣
2
+
∣
h
d
H
w
∣
2
+
2
∣
η
θ
‾
T
g
∣
⋅
∣
h
d
H
w
∣
s.t.
∥
w
∥
2
2
≤
p
\begin{array}{ll}{\underset{\boldsymbol{w}, \overline{\boldsymbol{\theta}}}{\max}} & {\left|\eta \overline{\boldsymbol{\theta}}^{T} \boldsymbol{g}\right|^{2}+\left|\boldsymbol{h}_{d}^{H} \boldsymbol{w}\right|^{2}+2\left|\eta \overline{\boldsymbol{\theta}}^{T} \boldsymbol{g}\right| \cdot\left|\boldsymbol{h}_{d}^{H} \boldsymbol{w}\right|} \\ {\text { s.t. }} & {\|\boldsymbol{w}\|_{2}^{2} \leq p}\end{array}
w,θmax s.t. ∣∣∣ηθTg∣∣∣2+∣∣∣hdHw∣∣∣2+2∣∣∣ηθTg∣∣∣⋅∣∣∣hdHw∣∣∣∥w∥22≤p
能够得出这样的结论：active beamforming 与 passive beamforming 的优化可以分离，不再耦合。
max
θ
‾
∣
θ
‾
T
g
∣
s.t.
θ
‾
=
[
e
j
θ
‾
1
…
e
j
θ
‾
M
]
T
\begin{array}{cl}{\max _{\overline{\bm \theta}}} & {\left|\overline{ \bm \theta}^{T} \bm g\right|} \\ {\text { s.t. }} & { \overline{\bm \theta}=\left[e^{j \overline{\theta}_{1}} \ldots e^{j \overline{\theta}_{M}}\right]^{T}}\end{array}
maxθ s.t. ∣∣∣θTg∣∣∣θ=[ejθ1…ejθM]T
很明显，相位相反时是最大值
θ
‾
⋆
=
[
e
−
j
arg
(
g
1
)
…
e
−
j
arg
(
g
M
)
]
T
⟹
∥
g
∥
1
=
∑
i
∣
g
i
∣
\overline{\boldsymbol{\theta}}^{\star}=\left[\begin{array}{lll}{e^{-j \arg \left(g_{1}\right)}} & {\ldots} & {\left.e^{-j \arg \left(g_{M}\right)}\right]^{T}}\end{array}\right. \Longrightarrow \\ \| \bm g\|_{1} = \sum_i \vert g_i\vert
θ⋆=[e−jarg(g1)…e−jarg(gM)]T⟹∥g∥1=i∑∣gi∣
到现在才隐约感觉到公式里的
∣
⋅
∣
\vert \cdot \vert
∣⋅∣ 表示取复数的模。
接下来自然就是固定 θ ‾ \overline{\boldsymbol{\theta}} θ，求解其余优化变量：
max
w
,
α
∣
(
e
j
α
h
r
H
Θ
‾
⋆
G
+
h
d
H
)
w
∣
2
s.t.
∥
w
∥
2
2
≤
p
\begin{array}{cl}{\max _{\boldsymbol{w}, {\alpha}}} & {\left|\left(e^{j \alpha} \boldsymbol{h}_{r}^{H} \overline{\boldsymbol{\Theta}}^{\star} \boldsymbol{G}+\boldsymbol{h}_{d}^{H}\right) \boldsymbol{w}\right|^{2}} \\ {\text { s.t. }} & {\|\boldsymbol{w}\|_{2}^{2} \leq p}\end{array}
maxw,α s.t. ∣∣∣(ejαhrHΘ⋆G+hdH)w∣∣∣2∥w∥22≤p
对于固定的
α
\alpha
α，预编码的优化就是 maximum ratio transmission (MRT) solution：
w
⋆
=
p
(
e
j
α
h
r
H
Θ
‾
⋆
G
+
h
d
H
)
H
∥
e
j
α
h
r
H
Θ
‾
⋆
G
+
h
d
H
∥
2
\boldsymbol{w}^{\star}=\sqrt{p} \frac{\left(e^{j \alpha} \boldsymbol{h}_{r}^{H} \overline{\bm\Theta}^{\star} \bm G+\boldsymbol{h}_{d}^{H}\right)^{H}}{\left\|e^{j \alpha} \boldsymbol{h}_{r}^{H} \overline{\boldsymbol{\Theta}}^{\star} \boldsymbol{G}+\boldsymbol{h}_{d}^{H}\right\|_{2}}
w⋆=p
∥∥∥ejαhrHΘ⋆G+hdH∥∥∥2(ejαhrHΘ⋆G+hdH)H
其中
∥
x
∥
2
=
∑
i
x
i
2
\|\mathbf{x}\|_{2}=\sqrt{\sum_{i } x_{i}^{2}}
∥x∥2=i∑xi2
代入公式，最后
max
α
∥
e
j
α
h
r
H
Θ
‾
⋆
G
+
h
d
H
∥
2
2
\max _{\alpha} \quad\left\|e^{j \alpha} \boldsymbol{h}_{r}^{H} \overline{\bm \Theta}^{\star} \boldsymbol{G}+\boldsymbol{h}_{d}^{H}\right\|_{2}^{2}
αmax∥∥∥ejαhrHΘ⋆G+hdH∥∥∥22
向量二范数等价于内积的平方根
∥
e
j
α
h
r
H
Θ
‾
⋆
G
+
h
d
H
∥
2
2
=
⟨
e
j
α
h
r
H
Θ
‾
⋆
G
+
h
d
H
,
e
j
α
h
r
H
Θ
‾
⋆
G
+
h
d
H
⟩
\left\|e^{j \alpha} \boldsymbol{h}_{r}^{H} \overline{\bm \Theta}^{\star} \boldsymbol{G}+\boldsymbol{h}_{d}^{H}\right\|_{2}^{2} = {\left\langle e^{j \alpha} \boldsymbol{h}_{r}^{H} \overline{\bm \Theta}^{\star} \boldsymbol{G}+\boldsymbol{h}_{d}^{H} , \ e^{j \alpha} \boldsymbol{h}_{r}^{H} \overline{\bm \Theta}^{\star} \boldsymbol{G}+\boldsymbol{h}_{d}^{H} \right\rangle }
∥∥∥ejαhrHΘ⋆G+hdH∥∥∥22=⟨ejαhrHΘ⋆G+hdH, ejαhrHΘ⋆G+hdH⟩
只要保证
e
j
α
h
r
H
Θ
‾
⋆
G
e^{j \alpha} \boldsymbol{h}_{r}^{H} \overline{\bm \Theta}^{\star} \boldsymbol{G}
ejαhrHΘ⋆G 和
h
d
H
\boldsymbol{h}_{d}^{H}
hdH 的方向一致：
e
j
α
h
r
H
Θ
‾
⋆
G
=
μ
h
d
H
e
j
α
(
h
r
H
Θ
‾
⋆
G
)
(
h
r
H
Θ
‾
⋆
G
)
H
=
μ
′
e
j
α
=
μ
h
d
H
(
h
r
H
Θ
‾
⋆
G
)
H
\begin{aligned} e^{j \alpha} \boldsymbol{h}_{r}^{H} \overline{\bm \Theta}^{\star} \boldsymbol{G} &= \mu \boldsymbol{h}_{d}^{H} \\ e^{j \alpha} \left( \boldsymbol{h}_{r}^{H} \overline{\bm \Theta}^{\star} \boldsymbol{G}\right) \left( \boldsymbol{h}_{r}^{H} \overline{\bm \Theta}^{\star} \boldsymbol{G}\right) ^{H}&= \mu'e^{j \alpha} \\ &= \mu\boldsymbol{h}_{d}^{H} \left(\boldsymbol{h}_{r}^{H} \overline{\bm \Theta}^{\star} \boldsymbol{G} \right)^{H} \end{aligned}
ejαhrHΘ⋆Gejα(hrHΘ⋆G)(hrHΘ⋆G)H=μhdH=μ′ejα=μhdH(hrHΘ⋆G)H
所以存在关系
e
j
α
=
γ
h
d
H
(
h
r
H
Θ
‾
⋆
G
)
H
=
γ
h
d
H
G
H
Θ
‾
⋆
H
h
r
α
=
arg
(
h
d
H
(
h
r
H
Θ
‾
⋆
G
)
H
)
=
−
arg
(
h
r
H
Θ
‾
⋆
G
h
d
)
=
−
arg
(
λ
h
r
H
Θ
‾
⋆
a
b
H
h
d
)
=
−
arg
(
λ
θ
‾
⋆
T
(
h
r
∗
⊙
a
)
b
H
h
d
)
=
−
arg
(
(
θ
‾
⋆
T
g
)
b
H
h
d
)
=
−
arg
(
b
H
h
d
)
\begin{aligned} e^{j \alpha} &= \gamma \boldsymbol{h}_{d}^{H} \left(\boldsymbol{h}_{r}^{H} \overline{\bm \Theta}^{\star} \boldsymbol{G} \right)^{H} = \gamma \boldsymbol{h}_{d}^{H} \boldsymbol{G}^{H} {\overline{\bm \Theta}^{\star}}^{H} \boldsymbol{h}_{r} \\ \alpha &= \arg \left( \boldsymbol{h}_{d}^{H} \left(\boldsymbol{h}_{r}^{H} \overline{\bm \Theta}^{\star} \boldsymbol{G} \right)^{H} \right) = - \arg \left( \boldsymbol{h}_{r}^{H} \overline{\bm \Theta}^{\star} \boldsymbol{G} \boldsymbol{h}_{d} \right) \\ &= - \arg \left( \lambda \boldsymbol{h}_{r}^{H} \overline{\bm \Theta}^{\star} \boldsymbol{ab}^H \boldsymbol{h}_{d} \right) \\ &=- \arg \left( \lambda {\overline{\bm \theta}^{\star}}^{T} \left( \boldsymbol{h}_{r}^{\ast} \odot \boldsymbol{a} \right){\bm b}^H \boldsymbol{h}_{d} \right) =- \arg \left( \left( {\overline{\bm \theta}^{\star}}^{T} \boldsymbol{g} \right){\bm b}^H \boldsymbol{h}_{d} \right) \\ &=- \arg \left( {\bm b}^H \boldsymbol{h}_{d} \right) \end{aligned}
ejαα=γhdH(hrHΘ⋆G)H=γhdHGHΘ⋆Hhr=arg(hdH(hrHΘ⋆G)H)=−arg(hrHΘ⋆Ghd)=−arg(λhrHΘ⋆abHhd)=−arg(λθ⋆T(hr∗⊙a)bHhd)=−arg((θ⋆Tg)bHhd)=−arg(bHhd)
最后得到
Θ
⋆
=
e
α
⋆
Θ
‾
⋆
\bm\Theta^{\star}=e^{\alpha^{\star}} \overline{\bm\Theta}^{\star}
Θ⋆=eα⋆Θ⋆
推导平均接收功率与 M 的关系：
已知
h
r
∼
C
N
(
0
,
ϱ
r
2
I
)
,
h
d
∼
C
N
(
0
,
ϱ
d
2
I
)
G
=
N
M
ρ
a
b
T
\begin{aligned} \boldsymbol{h}_{r} &\sim \mathcal{CN}\left(0, \varrho_{r}^{2} \boldsymbol{I}\right), \quad \boldsymbol{h}_{d} \sim \mathcal{CN}\left(0, \varrho_{d}^{2} \boldsymbol{I}\right) \\ \bm G &=\sqrt{N M} \rho \bm {a b}^{T} \end{aligned}
hrG∼CN(0,ϱr2I),hd∼CN(0,ϱd2I)=NM
ρabT
且
b
H
b
=
1
\bm b^H \bm b = 1
bHb=1，则
∥
e
j
α
⋆
h
r
H
Θ
‾
⋆
G
+
h
d
H
∥
2
2
=
∥
z
e
j
α
⋆
b
T
+
h
d
H
∥
2
2
=
z
2
+
2
∣
z
∣
∣
b
T
h
d
∣
+
h
d
H
h
d
\begin{array}{l}{\qquad \begin{aligned}\left\|e^{j \alpha^{\star}} \boldsymbol{h}_{r}^{H} \overline{\boldsymbol{\Theta}}^{\star} \boldsymbol{G}+\boldsymbol{h}_{d}^{H}\right\|_{2}^{2} &=\left\|z e^{j \alpha^{\star}} \boldsymbol{b}^{T}+\boldsymbol{h}_{d}^{H}\right\|_{2}^{2} \\ &=z^{2}+2|z|\left|\boldsymbol{b}^{T} \boldsymbol{h}_{d}\right|+\boldsymbol{h}_{d}^{H} \boldsymbol{h}_{d} \end{aligned}} \end{array}
∥∥∥ejα⋆hrHΘ⋆G+hdH∥∥∥22=∥∥∥zejα⋆bT+hdH∥∥∥22=z2+2∣z∣∣∣∣bThd∣∣∣+hdHhd
在这里，应该存在关系：
a
(
θ
)
=
1
M
[
e
−
ȷ
2
π
d
λ
θ
i
]
i
∈
I
(
M
)
\bm a(\theta)=\frac{1}{\sqrt{ M}}\left[e^{-\jmath \frac{2 \pi d}{\lambda} \theta_i}\right]_{i \in \mathcal{I}\left( M\right)}
a(θ)=M
1[e−ȷλ2πdθi]i∈I(M)。所以过程为：
ρ
h
r
H
Θ
‾
⋆
a
=
∥
ρ
(
h
r
∗
⊙
a
)
∥
1
=
1
M
∣
ρ
∣
∥
h
r
∥
1
z
≜
N
M
ρ
h
r
H
Θ
‾
⋆
a
=
N
∣
ρ
∣
⋅
∥
h
r
∥
1
\rho \boldsymbol{h}_{r}^{H} \overline{\boldsymbol{\Theta}}^{\star} \boldsymbol{a}=\left\|\rho\left(\boldsymbol{h}_{r}^{*} \odot \boldsymbol{a}\right)\right\|_{1}=\frac{1}{\sqrt{M}}|\rho|\left\|\boldsymbol{h}_{r}\right\|_{1} \\ \\ {\qquad z \triangleq \sqrt{N M} \rho \boldsymbol{h}_{r}^{H} \overline{\boldsymbol{\Theta}}^{\star} \boldsymbol{a}=\sqrt{N}|\rho| \cdot\left\|\boldsymbol{h}_{r}\right\|_{1}}
ρhrHΘ⋆a=∥ρ(hr∗⊙a)∥1=M
1∣ρ∣∥hr∥1z≜NM
ρhrHΘ⋆a=N
∣ρ∣⋅∥hr∥1
求平均功率
γ
⋆
=
E
[
z
2
+
2
∣
z
∣
∣
b
T
h
d
∣
+
h
d
H
h
d
]
\gamma^{\star}=\mathbb{E}\left[z^{2}+2|z|\left|\boldsymbol{b}^{T} \boldsymbol{h}_{d}\right|+\boldsymbol{h}_{d}^{H} \boldsymbol{h}_{d}\right]
γ⋆=E[z2+2∣z∣∣∣∣bThd∣∣∣+hdHhd]
求期望过程参考 https://blog.csdn.net/u011240016/article/details/53214966。
原理是
E
∣
X
∣
=
∫
−
∞
+
∞
∣
x
∣
f
(
x
)
d
x
=
∫
−
∞
+
∞
∣
x
∣
1
2
π
e
−
x
2
2
d
x
=
2
∫
−
∞
+
∞
∣
x
2
∣
1
2
π
e
−
(
x
2
)
2
d
(
x
2
)
=
2
1
2
π
⋅
2
∫
0
+
∞
x
2
e
−
(
x
2
)
2
d
(
x
2
)
=
2
π
E|X| = \int_{-\infty}^{+\infty} |x| f(x)dx = \int_{-\infty}^{+\infty}|x| \frac{1}{\sqrt {2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx \\ = 2\int_{-\infty}^{+\infty}|\frac{x}{\sqrt 2}| \frac{1}{\sqrt {2\pi}}e^{-(\frac{x}{\sqrt 2})^2}d(\frac{x}{\sqrt 2})\\ = 2 \frac{1}{\sqrt {2\pi}}\cdot 2\int_0^{+\infty}\frac{x}{\sqrt 2}e^{-(\frac{x}{\sqrt 2})^2}d(\frac{x}{\sqrt 2})=\sqrt {\frac{2}{\pi}}
E∣X∣=∫−∞+∞∣x∣f(x)dx=∫−∞+∞∣x∣2π
1e−2x2dx=2∫−∞+∞∣2
x∣2π
1e−(2
x)2d(2
x)=22π
1⋅2∫0+∞2
xe−(2
x)2d(2
x)=π2
所以得到
E
[
∣
h
r
m
∣
]
=
2
π
ϱ
r
Var
[
∣
h
r
m
∣
]
=
(
1
−
2
π
)
ϱ
r
2
E
[
∣
h
r
m
∣
2
]
=
Var
[
∣
h
r
m
∣
]
+
(
E
[
∣
h
r
m
∣
]
)
2
=
Var
[
h
r
m
]
+
(
E
[
h
r
m
]
)
2
=
ϱ
r
2
\begin{array}{c}{\mathbb{E}\left[\left|h_{r_{m}}\right|\right]={\sqrt{\frac {2}{\pi}} \varrho_{r}} } \\ {\operatorname{Var}\left[\left|h_{r_{m}}\right|\right]= \left(1-\frac{2}{\pi} \right)\varrho_{r}^2 } \\ {\mathbb{E}\left[\left|h_{r_{m}}\right|^{2}\right]=\operatorname{Var}\left[\left|h_{r_{m}}\right|\right]+\left(\mathbb{E}\left[\left|h_{r_{m}}\right|\right]\right)^{2}=\operatorname{Var}\left[ h_{r_{m}} \right]+\left(\mathbb{E}\left[ h_{r_{m}} \right]\right)^{2}=\varrho_{r}^{2}}\end{array}
E[∣hrm∣]=π2
ϱrVar[∣hrm∣]=(1−π2)ϱr2E[∣hrm∣2]=Var[∣hrm∣]+(E[∣hrm∣])2=Var[hrm]+(E[hrm])2=ϱr2有
E
[
z
]
=
N
E
[
∣
ρ
∣
]
∑
m
=
1
M
E
[
∣
h
r
m
∣
]
=
M
N
E
[
∣
ρ
∣
]
2
π
ϱ
r
\mathbb{E}[z] =\sqrt{N} \mathbb{E}\left[|\rho| \right] \sum_{m=1}^{M} \mathbb{E}\left[\left|h_{r_{m}}\right|\right] =M \sqrt{N} \mathbb{E}[|\rho|] \sqrt{\frac {2}{\pi}} \varrho_{r}
E[z]=N
E[∣ρ∣]∑m=1ME[∣hrm∣]=MN
E[∣ρ∣]π2
ϱr
E
[
z
2
]
=
N
E
[
∣
ρ
∣
2
]
E
[
∥
h
r
∥
1
2
]
=
N
E
[
∣
ρ
∣
2
]
E
[
(
∑
m
=
1
M
∣
h
r
m
∣
)
2
]
\begin{aligned} \mathbb{E}\left[z^{2}\right] &=N \mathbb{E}\left[|\rho|^{2}\right] \mathbb{E}\left[\left\|\boldsymbol{h}_{r}\right\|_{1}^{2}\right] \\ &=N \mathbb{E}\left[|\rho|^{2}\right] \mathbb{E}\left[\left(\sum_{m=1}^{M}\left|h_{r_{m}}\right|\right)^{2}\right]\end{aligned}
E[z2]=NE[∣ρ∣2]E[∥hr∥12]=NE[∣ρ∣2]E⎣⎡(m=1∑M∣hrm∣)2⎦⎤
感觉后面推导是不是都有问题呀，先暂时不推了。
得出的重要结论就是 平均接收功率 scales quadratically with the number of reflecting elements M.
信道具体实现是
h
=
N
‾
L
∑
l
=
1
L
α
l
λ
r
λ
t
a
t
(
ϕ
l
)
α
l
∼
C
N
(
0
,
1
0
−
0.1
κ
)
κ
=
a
+
10
b
log
10
(
d
~
)
+
ξ
ξ
∼
N
(
0
,
σ
ξ
2
)
\bm h=\frac{\sqrt{\overline{N}}}{L} \sum_{l=1}^{L} \alpha_{l} \lambda_{r} \lambda_{t} \bm a_{t}\left(\phi_{l}\right) \\ \\ \alpha_{l} \sim \mathcal{C} \mathcal{N}\left(0,10^{-0.1 \kappa}\right) \\ \\ \kappa=a+10 b \log _{10}(\tilde{d})+\xi \\ \\ \xi \sim \mathcal{N}\left(0, \sigma_{\xi}^{2}\right)
h=LN
l=1∑Lαlλrλtat(ϕl)αl∼CN(0,10−0.1κ)κ=a+10blog10(d~)+ξξ∼N(0,σξ2)
| BS-User parameters | values | IRS-User parameters | values |
|---|---|---|---|
| λ r \lambda_r λr | 0 dBi | λ r \lambda_r λr | 0 dBi |
| λ t \lambda_t λt | 0 dBi | λ t \lambda_t λt | 9.82 dBi |
| a a a | 72 | b b b | 2.92 |
| σ ξ \sigma_{\xi} σξ | 8.7 dB | ϕ l \phi_{l} ϕl | [ 0 , 2 π ] [0,2 \pi] [0,2π] |
G = N M α λ r λ t a r ( ϑ a , ϑ e ) a t H ( ϕ ) \boldsymbol{G}=\sqrt{N M} \alpha \lambda_{r} \lambda_{t} \boldsymbol{a}_{r}\left(\vartheta_{a}, \vartheta_{e}\right) \boldsymbol{a}_{t}^{H}(\phi) G=NM αλrλtar(ϑa,ϑe)atH(ϕ)
| BS-IRS channel parameters | values |
|---|---|
| λ r \lambda_r λr | 0 dBi |
| λ t \lambda_t λt | 9.82 dBi |
| a a a | 61.4 |
| b b b | 2 |
| σ ξ \sigma_{\xi} σξ | 5.8 dB |
| ϕ l \phi_{l} ϕl | [ 0 , 2 π ] [0,2 \pi] [0,2π] |
p
=
30
d
B
m
,
σ
2
=
−
85
d
B
m
p=30 \mathrm{dBm}, \quad\sigma^{2}=-85 \mathrm{dBm}
p=30dBm,σ2=−85dBm
注：dBm 之间的差值就是 dB（SNR）。