【CF954I】Yet Another String Matching Problem（FFT）

题面

给定两个字符串\(S,T\)

求\(S\)所有长度为\(|T|\)的子串与\(T\)的距离

两个等长的串的距离定义为最少的，将某一个字符全部视作另外一个字符的次数。

\(|T|<=|S|<=10^6\)，字符集大小为\(6\)

题解

考虑如何快速计算两个串的答案，从左向右扫一遍，如果对应位置上有两个字符不同，检查在并查集中是否属于同一个集合，如果不属于则答案加一，同时合并两个集合。（这个就是CF939D）

如果枚举每一个长度为\(|T|\)的子串，复杂度为\(O(|S||T|)\)。考虑优化。

将\(T\)串反转，枚举两个字符\(x,y\)，将\(S\)串的\(x\)字符出现的位置对应为\(1\),\(T\)串的\(y\)字符出现的位置对应为\(1\),其他对应为\(0\),然后求两个生成函数的卷积。

假设在\(T\)的\(a\)位置和\(S\)的\(b\)位置对应有\(1\)，那么它们会对\(a+b\)位置对应一个\(1\)，也就是\(b+|T|-a\)位置对应一个\(1\),同时意味着在\(S\)的从这个位置开始的长度为\(|T|\)的子串中，这个位置上对应着这两个字符。

于是枚举每个开始的位置，以及任意两个字符，如果在任意位置这两个字符有对应相等的话，并查集合并即可。

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<cstdlib>

#include<cstring>

#include<cmath>

#include<algorithm>

#include<set>

#include<map>

#include<vector>

#include<queue>

using namespace std;

#define ll long long

#define RG register

#define MAX 333333

const double Pi=acos(-1);

struct Complex{double a,b;}A[MAX],B[MAX],W[MAX];

Complex operator+(Complex a,Complex b){return (Complex){a.a+b.a,a.b+b.b};}

Complex operator-(Complex a,Complex b){return (Complex){a.a-b.a,a.b-b.b};}

Complex operator*(Complex a,Complex b){return (Complex){a.a*b.a-a.b*b.b,a.a*b.b+a.b*b.a};}

int r[MAX],N,n,m,l,eql[MAX][6][6];

char a[MAX],b[MAX];

void FFT(Complex *P,int opt)

{

	for(int i=1;i<N;++i)if(i<r[i])swap(P[i],P[r[i]]);

	for(int i=1;i<N;i<<=1)

		for(int p=i<<1,j=0;j<N;j+=p)

			for(int k=0;k<i;++k)

			{

				Complex w=(Complex){W[N/i*k].a,W[N/i*k].b*opt};

				Complex X=P[j+k],Y=w*P[i+j+k];

				P[j+k]=X+Y;P[i+j+k]=X-Y;

			}

}

int f[6];

int getf(int x){return x==f[x]?x:f[x]=getf(f[x]);}

int main()

{

	scanf("%s",a);scanf("%s",b);

	n=strlen(a),m=strlen(b);

	for(N=1;N<=(n+m);N<<=1)++l;

	for(int i=0;i<N;++i)r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));

	for(int i=1;i<N;i<<=1)

		for(int k=0;k<i;++k)W[N/i*k]=(Complex){cos(k*Pi/i),sin(k*Pi/i)};

	for(int i=0;i<6;++i)

		for(int j=0;j<6;++j)

		{

			for(int k=0;k<N;++k)A[k].a=A[k].b=B[k].a=B[k].b=0;

			for(int k=0;k<n;++k)A[k].a=(a[k]==i+97);

			for(int k=0;k<m;++k)B[k].a=(b[m-k-1]==j+97);

			FFT(A,1);FFT(B,1);

			for(int k=0;k<N;++k)A[k]=A[k]*B[k];

			FFT(A,-1);

			for(int k=0;k<N;++k)eql[k][i][j]=(int)(A[k].a/N+0.5);

		}

	for(int i=m-1;i<n;++i)

	{

		for(int j=0;j<6;++j)f[j]=j;

		for(int j=0;j<6;++j)

			for(int k=0;k<6;++k)

				if(eql[i][j][k])

					f[getf(j)]=getf(k);

		int ans=0;

		for(int j=0;j<6;++j)if(getf(j)!=j)++ans;

		printf("%d ",ans);

	}

	puts("");

	return 0;

}