【Prony算法笔记】一种基于综合DFT和Prony算法的谐波与间谐波分析方法

Prony算法是基于指数函数的线性组合对采样数据进行拟合,其中指数项个数为Prony算法模型的阶数。

设采样数据为x(0),x(1),…,x(N-1),令:
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在上式中,N为采样数据的个数;k为模型阶数,且N≥2k;Ak为振幅;αk为衰减因子;fk为频率;φk为相位;Δt为采样间隔。

使平方误差:
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最小便可以求出{Akkk,fk},但是,求解这样一个非线性的最小二乘问题是困难的。通常这种求解是一个迭代过程。

下面将通过构造常系数线性差分方程,对参数ak、zk进行求解,从而间接求出这4个参数。

(注意ak与αk是不同的,后者是衰减因子)

定义多项式(记为4-7-4):
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(在下一个分割线前,k与m将可能给读者造成困惑,我会在下一个分割线出现时说明符号统一)

根据:
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可知,表示:
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的一种方法是:
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用am乘上式,然后对p+1个乘积求和,即有:
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又因为:
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所以:
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上式记为4-7-5。式(4-7-5)等于零是因为第二项求和恰好是式(4-7-4)的位于根zl处的多项式φ(zl),而φ(zl)=0。式(4-7-5)意味着式
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满足递推的差分方程式:
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【为了符号统一,在下面的内容中将用k替换上述差分方程式的m】如下:
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采样数据x(n)与拟合值xˆ(n)的误差为e(n),如式(6)所示:
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通过合并式(5)与式(6),【我并不懂是怎么合并的】,得到信号x(n)为:
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将x(n)看作为误差u(n)激励一个P阶自回归模型产生的输出,求解该模型的正则方程可得参数ak,将ak代入式(8):
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并对多项式求根,可以求出参数zk

下面再次列出式1:
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根据式(1)可以得出矩阵方程:
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其中:
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式9是一个矩阵方程,其最小二乘解bk如式11:
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根据求出的zk、bk可得:
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参考文献:
[1]郭成,尹轲,张艳萍,段锐敏.一种基于综合DFT和Prony算法的谐波与间谐波分析方法[J].电力系统保护与控制,2021,49(17):1-9.
[2]《现代信号处理》-张贤达-清华大学出版社

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