七、(10分)  设 $A$ 为 $n$ 阶正定实对称阵, $B,C$ 为 $n$ 阶半正定实对称阵, 使得 $BA^{-1}C$ 为对称阵. 证明: $$|A|\cdot|A+B+C|\leq |A+B|\cdot|A+C|,$$ 并求等号成立的充要条件.

证法一  由 $A$ 的正定性可知, 存在非异实方阵 $D$, 使得 $D'AD=I_n$, 于是 $A^{-1}=DD'$. 再由 $BA^{-1}C$ 的对称性可知 $$BA^{-1}C=(BA^{-1}C)'=C'(A')^{-1}B'=CA^{-1}B,$$ 即 $BDD'C=CDD'B$, 于是 $(D'BD)(D'CD)=(D'CD)(D'BD)$, 即 $D'BD,D'CD$ 是两个乘法可交换的半正定实对称阵. 由高代白皮书的例 9.107 (乘法可交换的实对称阵可同时正交对角化) 可知, 存在正交阵 $P$, 使得 $$P'D'BDP=\mathrm{diag}\{\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\}=\Lambda_B,\,\,P'D'CDP=\mathrm{diag}\{\mu_1,\mu_2,\cdots,\mu_n\}=\Lambda_C,$$ 其中 $\lambda_i\geq 0$, $\mu_i\geq 0\,(1\leq i\leq n)$, 此时 $P'D'ADP=P'P=I_n$. 在要证不等式的两边同时左乘 $|P'D'|^2$, 同时右乘 $|DP|^2$, 等价地只要证明下列不等式成立即可: $$|I_n+\Lambda_B+\Lambda_C|\leq |I_n+\Lambda_B||I_n+\Lambda_C|.$$ 通过简单的计算可知 \begin{eqnarray*} |I_n+\Lambda_B||I_n+\Lambda_C| &=& \prod\limits_{i=1}^n(1+\lambda_i)(1+\mu_i)=\prod\limits_{i=1}^n(1+\lambda_i+\mu_i+\lambda_i\mu_i) \\ &\geq& \prod\limits_{i=1}^n(1+\lambda_i+\mu_i)=|I_n+\Lambda_B+\Lambda_C|, \end{eqnarray*} 等号成立当且仅当 $\lambda_i\mu_i=0\,(1\leq i\leq n)$, 即当且仅当 $$O=\Lambda_B\Lambda_C=(P'D'BDP)(P'D'CDP)=P'D'(BA^{-1}C)DP,$$ 也即当且仅当 $BA^{-1}C=O$.

证法二  先引用高代白皮书上两个例题的推论:

引理 1 (白皮书例 9.59 的半正定版)  设 $B,C$ 为 $n$ 阶半正定实对称阵, 若 $BC$ 为对称阵, 则 $BC$ 是半正定阵.

证明  由 $C$ 的半正定性可知, 存在实方阵 $D$, 使得 $C=D'D$. 再由特征值的降阶公式可知, $BC=BD'D$ 与 $DBD'$ 有相同的特征值. 注意到 $DBD'$ 仍为半正定阵, 故其特征值全部非负, 于是实对称阵 $BC$ 的特征值全部非负, 从而 $BC$ 是半正定阵. 注意到 $BC$ 的对称性为 $BC=(BC)'=C'B'=CB$, 即 $B,C$ 乘法可交换, 故也可用同时正交对角化来证明上述结论. $\Box$

引理 2 (白皮书例 9.67 的弱化版)  设 $A$ 为 $n$ 阶正定实对称阵, $B$ 为 $n$ 阶半正定实对称阵, 则 $|A+B|\geq |A|$, 等号成立当且仅当 $B=O$.

证明  由白皮书例 9.67 可知, $|A+B|\geq |A|+|B|$, 等号成立当且仅当 $n=1$ 或者当 $n\geq 2$ 时 $B=O$, 故上述结论成立. $\Box$

将要证的不等式变形为 $$(*)\quad |A+B+C|\leq |A+B|\cdot|A|^{-1}\cdot|A+C|=|A+B+C+BA^{-1}C|.$$ 由 $A$ 的正定性可知, 存在非异实方阵 $D$, 使得 $D'AD=I_n$, 于是 $A^{-1}=DD'$. 再由 $BA^{-1}C$ 的对称性可知, $D'(BA^{-1}C)D=D'(BDD'C)D=(D'BD)(D'CD)$ 也是对称阵, 又 $D'BD$, $D'CD$ 都是半正定阵, 故由引理 1 可得 $D'(BA^{-1}C)D$ 是半正定阵, 于是 $BA^{-1}C$ 也是半正定阵. 注意到 $A+B+C$ 是正定阵, 故不等式 $(*)$ 由引理 2 即得, 等号成立当且仅当 $BA^{-1}C=O$. $\Box$

注 1  本题共有 31 位同学得分在 7 分以上, 分别是 (排名不分先后):

证法一: 丁嘉栋, 杨秋安, 于泰来, 许佳敏, 张朔, 谢承翰, 石咏尧, 蔡建栋, 徐赟程, 赵枢目, 梅明家, 屈芷萱, 翟卫翔, 张叶昊, 袁润泽, 宋明奇, 杨奕辰, 陈思齐, 胡海辰, 张弘毅, 金董新, 王泽田, 陈宏豪, 施昊.

证法二: 韦晓骅, 任禹同, 谭雯兮, 刘继升, 钱邓鹏, 陈逸然.

证法三: 袁锦星 (由 $A^{-1}B$ 与 $A^{-1}C$ 的乘法交换性, 利用同时上三角化来证明, 但等号成立的充要条件较难得到, 故从略).

注 2  由于问题的条件和结论在同时合同变换下不改变: $A\mapsto D'AD$, $B\mapsto D'BD$, $C\mapsto D'CD$, 故不妨从一开始就假设 $A=I_n$ 为合同标准型, 此时 $B,C$ 为半正定实对称阵, 并且 $BC$ 为对称阵, 即 $BC=(BC)'=C'B'=CB$. 这样做下去可以大大简化证明中的记号, 但在得到等号成立的充要条件时, 一定要记得还原到初始的数据才行.

注 3  本题的证法一与复旦大学数学科学学院 2017 级高等代数 II 期末考试第七大题密切相关.