今天粉兔同学问了一个问题：如何证明贝尔数的 Touchard’s Congruence 性质：
$B_{n+p} \equiv B_{n+1} + B_n \pmod p$Bn+p​≡Bn+1​+Bn​(modp)
其中 $p$p 是质数，$B_n$Bn​ 是贝尔数。

为了证明这个问题，我们首先证明一个引理：
引理 1：$\sum_k {p\brace k} x^k \equiv x + x^p \pmod p$∑k​{kp​}xk≡x+xp(modp)。
证明：我们考虑多项式 $x^p = \sum_k {p\brace k} x^{\underline k}$xp=∑k​{kp​}xk​，这是由下降幂转化得到的。而 $x^p \equiv x \pmod p$xp≡x(modp)，$x^{\underline p} \equiv 0 \pmod p$xp​≡0(modp)，因此我们可以知道对于 $\sum_{k<p} {p\brace k} x^{\underline k} \equiv x \pmod p$∑k<p​{kp​}xk​≡x(modp)，等式两边都是小于 $p$p 次的多项式，必然是对应相等的，而 ${p \brace p} = 1${pp​}=1 显然。故 $\sum_k {p\brace k} x^k \equiv x + x^p \pmod p$∑k​{kp​}xk≡x+xp(modp) 得证。

接下来考虑这样一件事，记贝尔数的 EGF 是 $B(x) = \exp (\mathrm e^x - 1)$B(x)=exp(ex−1)，那么 $B'(x) = B(x)\mathrm e^x$B′(x)=B(x)ex，我们考虑对 $B(x)$B(x) 连续求导 $n$n 次，我们知道求导完必然是一个 $B^{(n)}(x) = B(x)\sum_k a_{n,k} \mathrm e^{kx}$B(n)(x)=B(x)∑k​an,k​ekx 的形式，归纳则有

$\begin{aligned} B^{(n+1)}(x) & = \left(B^{(n)}(x)\right)'\\ B(x)\sum_k a_{n+1,k} \mathrm e^{kx} &= \left(B(x)\sum_k a_{n,k} \mathrm e^{kx}\right)'\\ &= \sum_k a_{n,k} \left(B(x)\mathrm e^{kx}\right)'\\ &= \sum_k a_{n,k} \left(kB(x)\mathrm e^{kx} + B(x)\mathrm e^{(k+1)x}\right)\\ \sum_k a_{n+1,k} \mathrm e^{kx} &= \sum_k a_{n,k} \left(k\mathrm e^{kx} + \mathrm e^{(k+1)x}\right)\\ a_{n+1,k} &= ka_{n,k} + a_{n,k-1} \end{aligned}$B(n+1)(x)B(x)k∑​an+1,k​ekxk∑​an+1,k​ekxan+1,k​​=(B(n)(x))′=(B(x)k∑​an,k​ekx)′=k∑​an,k​(B(x)ekx)′=k∑​an,k​(kB(x)ekx+B(x)e(k+1)x)=k∑​an,k​(kekx+e(k+1)x)=kan,k​+an,k−1​​

带入初值，我们容易得到
$B^{(n)}(x) = B(x) \sum_k {n\brace k} \mathrm e^{kx}$B(n)(x)=B(x)k∑​{kn​}ekx

令 $n=p$n=p，有
$\begin{aligned} B^{(p)}(x) &= B(x) \sum_k {p\brace k} \mathrm e^{kx}\\ & \equiv B(x) (\mathrm e^x + \mathrm e^{px})\\ & \equiv B(x) (\mathrm e^x + 1)\\ & \equiv B'(x) + B(x)\\ B_{n+p} &\equiv B_{n+1} + B_n \end{aligned}$B(p)(x)Bn+p​​=B(x)k∑​{kp​}ekx≡B(x)(ex+epx)≡B(x)(ex+1)≡B′(x)+B(x)≡Bn+1​+Bn​​

故原问题得证。

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后面还提到了 $B_{n+p^m} \equiv mB_{n+1} + B_n \pmod p$Bn+pm​≡mBn+1​+Bn​(modp)，这个其实就不是很有新东西了，不过一个很爽的事情是我们可以用 Umbral Calculus 来快速得到：现在挪用上指标，我们有

$B^p = 1 + B$Bp=1+B

因此 $B^{p^m} = (1+B)^{p^{m-1}} = 1 + B^{p^{m-1}} = 2 + B^{p^{m-2}} = \cdots = m + B$Bpm=(1+B)pm−1=1+Bpm−1=2+Bpm−2=⋯=m+B

得证。