题目

题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P3185
聪聪和睿睿最近迷上了一款叫做分裂的游戏。

该游戏的规则是： 共有 \(n\) 个瓶子， 标号为 \(0, 1, \ldots, n-1\)，第 \(i\) 个瓶子中装有 \(p_i\) 颗巧克力豆，两个人轮流取豆子，每一轮每人选择 \(3\) 个瓶子，标号为 \(i,j,k\), 并要保证 \(i \lt j, j \leq k\)，且第 \(i\) 个瓶子中至少要有 \(1\) 颗巧克力豆，随后这个人从第 \(i\) 个瓶子中拿走一颗豆子并在 \(j,k\) 中各放入一粒豆子（\(j\) 可能等于 \(k\)） 。如果轮到某人而他无法按规则取豆子，那么他将输掉比赛。胜利者可以拿走所有的巧克力豆！

两人最后决定由聪聪先取豆子，为了能够得到最终的巧克力豆，聪聪自然希望赢得比赛。他思考了一下，发现在有的情况下，先拿的人一定有办法取胜，但是他不知道对于其他情况是否有必胜策略，更不知道第一步该如何取。他决定偷偷请教聪明的你，希望你能告诉他，在给定每个瓶子中的最初豆子数后是否能让自己得到所有巧克力豆，他还希望你告诉他第一步该如何取，并且为了必胜，第一步有多少种取法？

思路

下文所有下标加一。
容易发现每一颗豆子都是独立的，所以我们考虑一个位置在第 \(i\) 的豆子，容易发现其实等价于删掉一堆有 \(n-i\) 个石头的堆，再加入两堆石头数量小于 \(n-i\) 的堆。此时状态为 \(\mathrm{sg}(j)\ \mathrm{xor\ sg}(k)\)。
所以有

\[\mathrm{sg}(i)=\mathrm{mex}(\mathrm{sg}(j)\ \mathrm{xor\ sg}(k))\ (i<j\leq k) \]

然后一个局面先手必胜当且仅当所有豆子的 \(\mathrm{mex}\) 非 \(0\)。
然后统计一下第一步的方案数即可。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=50;
int Q,ans,cnt,n,a[N],sg[N];
bool vis[N];

int main()
{
	scanf("%d",&Q);
	while (Q--)
	{
		scanf("%d",&n);
		sg[n]=ans=0;
		for (int i=n-1;i>=1;i--)
		{
			memset(vis,0,sizeof(vis));
			for (int j=i+1;j<=n;j++)
				for (int k=j;k<=n;k++)
					vis[sg[j]^sg[k]]=1;
			for (int j=0;vis[j];j++)
				sg[i]=j+1;
		}
		for (int i=1,x;i<=n;i++)
		{
			scanf("%d",&a[i]);
			if (a[i]&1) ans^=sg[i];
		}
		if (!ans) printf("-1 -1 -1\n0\n");
		else
		{
			cnt=0;
			for (int i=1;i<n;i++)
				for (int j=i+1;j<=n;j++)
					for (int k=j;k<=n;k++)
						if (a[i] && (sg[i]^sg[j]^sg[k])==ans)
						{
							if (!cnt) printf("%d %d %d\n",i-1,j-1,k-1);
							cnt++;
						}
			printf("%d\n",cnt);
		}
	}
	return 0;
}