对于一个有序数组，如果要查找其中的一个数，我们可以使用二分查找(Binary Search)算法，将它的时间复杂度降低为O(logn).那查找一个有序链表，有没有办法将其时间复杂度也降低为O(logn)呢？
跳表(skip list),全称为跳跃链表， 实质上就是一种可以进行二分查找的有序链表 ，它允许快速查询、插入和删除 有序链表 。
跳表使用的前提是链表有序，就像二分查找也要求有序数组
怎么理解跳表
比如我们有一个原始有序链表，如下图所示。
要查找其中值为20的元素，之前都是采取按顺序进行遍历的方法，但这样做时间复杂度就变成了O(n).怎样才能提高效率呢？我们可以通过对链表建立一级索引，查找的时候先遍历索引，通过索引找到原始层继续遍历。索引如下图所示
那么查找20的过程就变成了先使用索引遍历 2 -> 7 -> 12 -> 20，然后顺着索引链表的结点向下找到原始链表的结点20.之前需要遍历7次，现在需要遍历5次。在数据量小的时候跳表性能优化并不明显，但当有序链表包含大量数据时，结点的访问次数大致会减少一半。
现在我们添加两层索引，基于第一层的索引再添加一层，如下图所示
要查找20，先在第二层索引上遍历 2 -> 12 ,然后向下转到第一层索引遍历 12 - > 20，最后向下找到原始链表的结点20.
这个例子中，原始有序链表的结点数量很少，当结点数量很多时，可以抽出更多的索引层级，每一层索引结点的数量都是低层索引的一半。
跳表复杂度分析
时间复杂度
算法的执行效率可以通过时间复杂度来衡量，跳表的时间复杂度是多少呢？我们来分析一下。
前面我们每两个结点抽一个结点作为上一级索引的结点，那么假设原始链表的长度为n，第一层索引的结点个数为n/2,第二层索引的个数为n/4,第k级的索引结点个数就是n/(2 k )。假设索引有 h 级，*的索引有 2 个结点。通过上面的公式，我们可以得到 n/(2 h )=2，从而求得 h=log 2 n-1。如果包含原始链表这一层，整个 跳表的高度就是 log 2 n 。我们在跳表中查询某个数据的时候，如果每一层都要遍历 m 个结点，那在跳表中查询一个数据的时 间复杂度就是 O(m*logn) 。
m的值怎么计算呢？在上面的例子中，每一层最多只需要遍历三个元素，因此m=3，根据 时间复杂度的计算规则 ，高阶的常数项也可以省略，因此跳表中查询任意数据的时间复杂度就是 O(logn)
空间复杂度
每两个结点中抽一个结点作为上级索引，很明显，它的空间复杂度为 O(n) .
:information_desk_person:♂ 这是一个典型的 空间换时间 操作。原始链表中存储的有可能是很大的对象，而索引结点只需要存储关键值和几个指针，并不需要存储对象，所以当对象比索引结点大很多时，索引占用的额外空间就可以忽略了。
高效的插入和删除
插入操作
向链表插入数据的时间复杂度是O(1),但为了保持链表数据有序，需要先找到插入结点的前置结点，然后插入数据到前置结点后面，其时间复杂度为 O(logn) 。假设我们要插入10，需要先找到前置结点9，然后插入10。
删除操作
删除的话也是需要先找到要删除的结点，如果该结点在索引中也有出现的话，索引中的也需要删除。因为单链表中的删除操作需要拿到要删除结点的前驱结点，然后通过指针操作完成删除。所以在查找要删除的结点的时候，一定要获取前驱结点。
动态更新索引
当我们一直往跳表中插入数据时，两个索引结点之间的数据可能会变得非常多，在极端情况下，跳表还会退化成单链表，这样的话跳表的优势也就没有了。
因此我们需要用一些方法来维护索引和原始链表之间的平衡，也就是在增加原始链表中结点内容的时候适当增加索引的大小。为了维护平衡，跳表的设计者采用了一种有趣的方法：“抛硬币”，也就是随机决定新结点是否建立索引，两个结点建立一个索引的话，每层的概率为50%。
Java实现跳表
下面是数据结构与算法之美 课程中的代码
package skiplist;
/**
* 跳表的一种实现方法。
* 跳表中存储的是正整数，并且存储的是不重复的。
*
* Author：ZHENG
*/
public class SkipList {
private static final float SKIPLIST_P = 0.5f;
private static final int MAX_LEVEL = 16;
private int levelCount = 1;
private Node head = new Node(); // 带头链表
public Node find(int value) {
Node p = head;
for (int i = levelCount - 1; i >= 0; --i) {
while (p.forwards[i] != null && p.forwards[i].data < value) {
p = p.forwards[i];
}
}
if (p.forwards[0] != null && p.forwards[0].data == value) {
return p.forwards[0];
} else {
return null;
}
}
public void insert(int value) {
int level = randomLevel();
Node newNode = new Node();
newNode.data = value;
newNode.maxLevel = level;
Node update[] = new Node[level];
for (int i = 0; i < level; ++i) {
update[i] = head;
}
// record every level largest value which smaller than insert value in update[]
Node p = head;
for (int i = level - 1; i >= 0; --i) {
while (p.forwards[i] != null && p.forwards[i].data < value) {
p = p.forwards[i];
}
update[i] = p;// use update save node in search path
}
// in search path node next node become new node forwords(next)
for (int i = 0; i < level; ++i) {
newNode.forwards[i] = update[i].forwards[i];
update[i].forwards[i] = newNode;
}
// update node hight
if (levelCount < level) levelCount = level;
}
public void delete(int value) {
Node[] update = new Node[levelCount];
Node p = head;
for (int i = levelCount - 1; i >= 0; --i) {
while (p.forwards[i] != null && p.forwards[i].data < value) {
p = p.forwards[i];
}
update[i] = p;
}
if (p.forwards[0] != null && p.forwards[0].data == value) {
for (int i = levelCount - 1; i >= 0; --i) {
if (update[i].forwards[i] != null && update[i].forwards[i].data == value) {
update[i].forwards[i] = update[i].forwards[i].forwards[i];
}
}
}
while (levelCount>1&&head.forwards[levelCount]==null){
levelCount--;
}
}
// 理论来讲，一级索引中元素个数应该占原始数据的 50%，二级索引中元素个数占 25%，三级索引12.5% ，一直到最顶层。
// 因为这里每一层的晋升概率是 50%。对于每一个新插入的节点，都需要调用 randomLevel 生成一个合理的层数。
// 该 randomLevel 方法会随机生成 1~MAX_LEVEL 之间的数，且 ：
// 50%的概率返回 1
// 25%的概率返回 2
// 12.5%的概率返回 3 ...
private int randomLevel() {
int level = 1;
while (Math.random() < SKIPLIST_P && level < MAX_LEVEL)
level += 1;
return level;
}
public void printAll() {
Node p = head;
while (p.forwards[0] != null) {
System.out.print(p.forwards[0] + " ");
p = p.forwards[0];
}
System.out.println();
}
public class Node {
private int data = -1;
private Node forwards[] = new Node[MAX_LEVEL];
private int maxLevel = 0;
@Override
public String toString() {
StringBuilder builder = new StringBuilder();
builder.append("{ data: ");
builder.append(data);
builder.append("; levels: ");
builder.append(maxLevel);
builder.append(" }");
return builder.toString();
}
}
}