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1. 微分的定义
设函数
y
=
f
(
x
)
y=f(x)
y=f(x)在某区间内有定义，
x
0
x_0
x0及
x
0
+
Δ
x
x_0+\Delta x
x0+Δx在这区间内
如果函数的增量
Δ
y
=
f
(
x
0
+
Δ
x
)
−
f
(
x
0
)
\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)
Δy=f(x0+Δx)−f(x0)可表示为
Δ
y
=
A
Δ
x
+
o
(
Δ
x
)
，
\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)，
Δy=AΔx+o(Δx)，其中
A
A
A是不依赖于
Δ
x
\Delta x
Δx的常数
那么称函数
y
=
f
(
x
)
y=f(x)
y=f(x)在点
x
0
x_0
x0是可微的，而
A
Δ
x
A\Delta x
AΔx叫做函数
y
=
f
(
x
)
y=f(x)
y=f(x)在点
x
0
x_0
x0相应于自变量增量
Δ
x
\Delta x
Δx的微分，记作
d
y
dy
dy，即
d
y
=
A
Δ
x
dy=A\Delta x
dy=AΔx
- 微分的意义在于用 Δ x \Delta x Δx的线性函数 A Δ x A\Delta x AΔx近似代替 Δ y \Delta y Δy，以达到简化的目的
-
函数可微的条件
函数 f ( x ) f(x) f(x)在点 x 0 x_0 x0可微的充分必要条件是函数 f ( x ) f(x) f(x)在点 x 0 x_0 x0可导，且当 f ( x ) f(x) f(x)在点 x 0 x_0 x0可微时，其微分一定是 d y = f ′ ( x 0 ) Δ x dy=f'(x_0)\Delta x dy=f′(x0)Δx - 微分的合理性
Δ y = d y + o ( d y ) \Delta y=dy+o(dy) Δy=dy+o(dy)， d y dy dy是 Δ y \Delta y Δy的主部，又由于 d y = f ′ ( x 0 ) Δ x dy=f'(x_0)\Delta x dy=f′(x0)Δx，所以在 f ′ ( x 0 ) ≠ 0 f'(x_0)\ne0 f′(x0)=0的条件下， d y dy dy称为 Δ y \Delta y Δy的线性主部(当 Δ x → 0 \Delta x\rightarrow0 Δx→0)
于是，在 f ′ ( x 0 ) ≠ 0 f'(x_0)\ne0 f′(x0)=0的条件下，以微分近似代替增量时的误差为 o ( d y ) o(dy) o(dy)，当 ∣ Δ x ∣ |\Delta x| ∣Δx∣很小时， Δ y ≈ d y \Delta y\approx dy Δy≈dy - 函数的微分——函数在任意点 x x x的微分，记作 d y dy dy或 d f ( x ) df(x) df(x)，即 d y = f ′ ( x ) Δ x dy=f'(x)\Delta x dy=f′(x)Δx
- 通常把 Δ x \Delta x Δx称为自变量的微分，记作 d x dx dx，即 d x = Δ x dx=\Delta x dx=Δx，于是函数 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)的微分可以记作 d y = f ′ ( x ) d x dy=f'(x)dx dy=f′(x)dx从而有 d y d x = f ′ ( x ) \frac{dy}{dx}=f'(x) dxdy=f′(x)这就是说，函数的微分 d y dy dy与自变量的微分 d x dx dx之商等于该函数的导数，因此导数也叫微商
2. 微分的几何意义
微分的几何意义是在局部范围内用线性函数近似代替非线性函数，在几何上就是用切线段近似代替曲线段，这在数学上称为非线性函数的局部线性化
3. 基本初等函数的微分公式和微分运算法则
由函数微分的表达式 d y = f ′ ( x ) d x dy=f'(x)dx dy=f′(x)dx可以看出，要计算函数的微分，只要计算函数的导数再乘上自变量的微分，因此基本初等函数的微分公式以及微分运算法则与导数相应内容类似
- 微分运算法则如下
- d ( u ± v ) = d u ± d v d(u\pm v)=du \pm dv d(u±v)=du±dv
- d ( C u ) = C d u d(Cu)=Cdu d(Cu)=Cdu
- d ( u v ) = v d u + u d v d(uv)=vdu+udv d(uv)=vdu+udv
- d ( u v ) = v d u − u d v v 2 d(\dfrac{u}{v})=\dfrac{vdu-udv}{v^2} d(vu)=v2vdu−udv
- 在复合函数的微分法则中 d y = y ′ ( u ) d u = y ′ ( u ) u ′ ( x ) d x dy=y'(u)du=y'(u)u'(x)dx dy=y′(u)du=y′(u)u′(x)dx可以看出，无论 u u u是自变量还是中间变量，微分形式 d y = y ′ ( u ) d u dy=y'(u)du dy=y′(u)du保持不变，这一性质称为微分形式不变性
4. 微分在近似计算中的应用
4.1. 函数的近似计算
- 在工程问题中，经常会遇到一些复杂的计算公式，如果直接用这些复杂的公式计算，那是很费力的，利用微分往往可以把一些复杂的计算公式用简单的近似公式来代替
- 用切点的切线近似 f ( x ) ≈ f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) f(x)\approx f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0) f(x)≈f(x0)+f′(x0)(x−x0)
- 常用的近似公式
f
(
x
)
≈
f
(
0
)
+
f
′
(
0
)
x
f(x)\approx f(0)+f'(0)x
f(x)≈f(0)+f′(0)x
- ( 1 + x ) α ≈ 1 + α x ( α ∈ R ) (1+x)^\alpha\approx 1+\alpha x(\alpha\in \R) (1+x)α≈1+αx(α∈R)
- sin x ≈ x ( x 用 弧 度 制 表 达 ) \sin x\approx x(x用弧度制表达) sinx≈x(x用弧度制表达)
- tan x ≈ x ( x 用 弧 度 制 表 达 ) \tan x\approx x(x用弧度制表达) tanx≈x(x用弧度制表达)
- e x ≈ 1 + x e^x\approx 1+x ex≈1+x
- ln ( 1 + x ) ≈ x \ln (1+x)\approx x ln(1+x)≈x
4.2. 误差估计
- 间接测量误差
由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法等因素的影响，测得的数据往往带有误差，而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误差，我们把它叫做间接测量误差 - 绝对误差、相对误差
如果某个量的精确值为 A A A，它的近似值为 a a a
那么 ∣ A − a ∣ |A-a| ∣A−a∣叫做 a a a的绝对误差， ∣ A − a ∣ ∣ a ∣ \dfrac{|A-a|}{|a|} ∣a∣∣A−a∣叫做 a a a的相对误差 - 绝对误差限、相对误差限
根据测量仪器的精度等因素，有时能够确定误差在某一个范围内
如果某个量的精确值是 A A A，测得它的近似值是 a a a，又知道它的误差不超过 δ A \delta_A δA，即 ∣ A − a ∣ ≤ δ A , |A-a|\le \delta_A, ∣A−a∣≤δA,那么 δ A \delta_A δA叫做测量 A A A的绝对误差限，而 δ A ∣ a ∣ \dfrac{\delta_A}{|a|} ∣a∣δA叫做测量 A A A的相对误差限 - 用微分估计间接测量误差
已知 ∣ Δ x ∣ ≤ δ x , y = f ( x ) |\Delta x|\le \delta_x, y=f(x) ∣Δx∣≤δx,y=f(x)
当 y ′ ≠ 0 y'\ne0 y′=0时， y y y的绝对误差 ∣ Δ y ∣ ≈ ∣ d y ∣ = ∣ y ′ ∣ ∣ Δ x ∣ = ∣ y ′ ∣ δ |\Delta y|\approx|dy|=|y'||\Delta x|=|y'|\delta ∣Δy∣≈∣dy∣=∣y′∣∣Δx∣=∣y′∣δ
y y y的绝对误差限约为 δ y = ∣ y ′ ∣ δ x \delta_y=|y'|\delta_x δy=∣y′∣δx
y y y的相对误差限约为 δ y ∣ y ∣ = ∣ y ′ y ∣ δ x \dfrac{\delta_y}{|y|}=|\dfrac{y'}{y}|\delta_x ∣y∣δy=∣yy′∣δx
常把绝对误差限和相对误差限简称为绝对误差和相对误差