一元函数的导数和微分

导数的定义

设 \(y=f(x)\) 定义在区间 \(I\) 上,让自变量在 \(x=x_{0}\) 处加一个增量 \(\Delta x\) (可正可负),其中 \(x_{0} \in I, x_{0}+\Delta x \in I\), 则可得函数的增量 \(\Delta y=f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)\). 若函数增量 \(\Delta y\) 与自变量增量 \(\Delta x\) 的比值在 \(\Delta x \rightarrow 0\) 时的极限
存在, 即 \(\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}\) 存在,则称函数 \(y=f(x)\) 在点 \(x_{0}\) 处可导,并称这个极限为 \(y=f(x)\) 在点 \(x_{0}\) 处的导数,记作
\(f^{\prime}\left(x_{0}\right)\), 即

简单来讲，函数在此处有导数，且左右导数相等。

• 三种等价说法：
  1. \(y=f(x)\)在\(x_0\)处可导
  2. \(y=f(x)\)在点\(x_{0}\)处导数存在;
  3. \(f^{\prime}\left(x_{0}\right)=A(A\text {为有限常数}) .\)

• 导数的几何意义.
  \(y=f(x)\) 在点 \(x_{0}\) 处的导数值 \(f^{\prime}\left(x_{0}\right)\) 就是曲线 \(y=f(x)\) 在点 \(\left(x_{0}, y_{0}\right)\) 处切线的科率 \(k\), 即 \(k=\)
  \(f^{\prime}\left(x_{0}\right)\), 于是曲线 \(y=f(x)\) 在点 \(\left(x_{0}, y_{0}\right)\) 处的切线方程为 \(y-y_{0}=f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)\);

\( \text { 法线方程为}\)

• 高阶导数的概念.

n阶导是增量之比的极限，增量是n-1阶导的增量。

微分

• 定义
  设函数 \(y=f(x)\) 在点 \(x_{0}\) 的某邻域内有定义, 且 \(x_{0}+\Delta x\) 在该邻域内, 对于函数增量

若存在与\(\Delta x\) 无关的常数 A ,使得
\(\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)\), \(\text { 其中 } o(\Delta x) \text { 是在 } \Delta x \rightarrow 0 \text { 时比 } \Delta x \text { 更高阶的无穷小,则称 } {f(x)} \text { 在点 } x_{0} \text { 处可微,并称 } A \Delta x \text { 为 } f(x) \text { 在点 } x_{0} \text { 处的 }\)

• \(f(x)\)在该点\(x_0\)处可微与\(f(x)\)在该点\(x_0\)处可导互为充要条件。
• 可微的几何意义.
  若 \(f(x)\) 在点 \(x_{0}\) 处可微,则在点 \(\left(x_{0}, y_{0}\right)\) 附近可以用切线段近似代替曲线段,这是可微的几何
  意义.

导数与微分的计算

• 四则运算
  

• 分段函数的导数
  着重考虑函数在分段点的左右导数是否都存在。

• 符合函数的导数：复合函数的导数等于内函数的导数乘以外函数的导数。

• 反函数的导数：
  设 \(y=f(x)\) 可导, 且 \(f^{\prime}(x) \neq 0\), 则存在反函数 \(x=\varphi(y)\), 且 \(\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} y}=\frac{1}{\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}}\), 即 \(\varphi^{\prime}(y)=\frac{1}{f^{\prime}(x)}\).

• 取对数求导法

• 幂指函数求导法：将幂指函数化成指数函数的形式再进行求导。

• 高阶导数

  1. 归纳法：推公式
  2. 高阶求导公式：莱布尼兹公式
  3. 泰勒公式

• 变现积分求导公式

【数学】Task03一元函数的导数和微分