定义常量 \(e\) 有

\[e=\lim_{n\to +\infty} (1+\frac1n)^n \]

这个定义在如下导函数性质证明中发挥巨大威力：

\[f(x)=\log_ax,f'(x)=\frac{1}{x\ln a} \]

\[f(x)=a^x ,f'(x)=x^a\ln a \]

具体推导均可以使用定义式进行，即

\[f'(x)=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta\ x} \]

中间都会遇到

\[\lim_{\Delta x\to 0}\log_a(1+\frac{\Delta x}x )^\frac{x}{\Delta x} \]

而该式就是 \(e\) 的定义式

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下有导函数的另一个性质：

\[\lim_{\Delta x\to 0}f(x+\Delta x)=f(x)+f'(x)\times \Delta x \]

也就是说 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处的导数是其在 \(x_0\) 处的斜率

这条性质在证明

\[[f(g(x))]'=f'(g(x))g'(x) \]

\[[\frac{f(x)}{g(x)}]'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)} \]

\[[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) \]

时会发挥巨大作用，而具体的和式变换是相对平凡的