§ 2 数集 · 确界原理
一 区间与邻域
区间
设 \(a,b\in\mathbf{R}\)，且 \(a<b.\) 我们称数集 \(\left \{x\ |\ a<x<b\right \}\) 为开区间，记作 \((\ a\ ,\ b\ )\)；数集 \(\left \{x\ |\ a\leqslant x\leqslant b\right \}\) 为闭区间，记作 \([\ a\ ,\ b\ ]\)；数集 \(\left \{x\ |\ a\leqslant x<b\right \}\) 和 \(\left \{x\ |\ a< x\leqslant b\right \}\) 都称为半开半闭区间，分别记作 \([\ a\ , \ b\ )\) 和 \((\ a\ ,\ b\ ]\). 以上这几类区间统称为有限区间.
满足关系式 \(x\geqslant a\) 的全体实数 \(x\) 的集合记作 \([\ a\ ,\ +\infty \ )\)，这里符号 $\infty $ 读作“无穷大”，\(+\infty\) 读作“正无穷大” . 类似地，我们记
其中 \(-\infty\) 读作“负无穷大”. 以上这几类数集都称为无限区间. 有限区间和无限区间统称为区间.
邻域
设 \(a\in\mathbf{R},\delta>0\). 满足绝对值不等式 \(|x-a|<\delta\) 的全体实数 \(x\) 的集合称为点 \(a\) 的 \(\delta\) 邻域，记作 \(U(a;\delta)\)，或简单地写作 \(U(a)\)，即有
\[U(a;\delta)=\{x\ |\ |x-a|<\delta\}=(\ a-\delta\ ,\ a+\delta\ ). \]点 \(a\) 的空心 \(\delta\) 邻域定义为
\[U^{\circ }(a;\delta)=\{x\ |\ 0<|x-a|<\delta\}, \]几种常用邻域
- 点 \(a\) 的 \(\delta\) 右邻域 \(U_+(a;\delta)=[\ a\ ,\ a+\delta\ )\)，简记为 \(U_+(a)\)
- 点 \(a\) 的 \(\delta\) 左邻域 \(U_-(a;\delta)=(\ a-\delta\ ,\ a\ ]\)，简记为 \(U_-(a)\)
- \(U_-(a)\) 和 \(U_+(a)\) 去除点 \(a\) 后，分别为点 \(a\) 的空心 \(\delta\) 左、右邻域，简记为 \(U^\circ _ -(a)\) 与 \(U^\circ _ +(a)\)
- \(\infty\) 邻域 \(U(\infty)=\{x\ |\ |x|>M\}\)，其中 \(M\) 为充分大的正数（下同）
- \(+\infty\) 邻域 \(U(+\infty)=\{x\ |\ x>M\}\)
- \(-\infty\) 邻域 \(U(-\infty)=\{x\ |\ x<-M\}\)
二 有界集·确界原理
定义
定义1 设 \(S\) 为 \(\mathbf{R}\) 中的一个数集 . 若存在数 \(M(L)\)，使得对一切 \(x\in S\)，都有 \(x\leqslant M(x\geqslant L)\)，则称 \(S\) 为有上界（下界）的数集，数 \(M(L)\) 称为 \(S\) 的一个上界（下界） . 若数集 \(S\) 既有上界又有下界，则称 \(S\) 为有界集 . 若 \(S\) 不是有界集，则称 \(S\) 为*集 .
定义2 设 \(S\) 为 \(\mathbf{R}\) 中的一个数集 . 若数 \(\eta\) 满足：
-
对一切 \(x\in S\)，有 \(x\leqslant \eta\)，即 \(\eta\) 是 \(S\) 的上界
-
对任何 \(\alpha<\eta\)，存在 \(x_0\in S\)，使得 \(x_0>\alpha\)，即 \(\eta\) 又是 \(S\) 的最小上界
则称数 \(\eta\) 为数集 \(S\) 的上确界，记作
定义3 设 \(S\) 是 \(\mathbf{R}\) 中的一个数集 . 若数 \(\xi\) 满足：
- 对一切 \(x\in S\)，有 \(x\geqslant \xi\)，即 \(\xi\) 是 \(S\) 的下界
- 对任何 \(\beta >\xi\)，存在 \(x_0\in S\)，使得 \(x_0<\beta\)，即 \(\xi\) 又是 \(S\) 的最大下界
则称数 \(\xi\) 为数集 \(S\) 的下确界，记作
\[\xi=\inf S. \]上确界与下确界统称为确界
重要定理
※定理1（确界原理） 设 \(S\) 为非空数集 . 若 \(S\) 有上界，则 \(S\) 必有上确界；若 \(S\) 有下界，则 \(S\) 必有下确界 .
※证 我们只证明上确界的结论，后一结论可以类似地证明 .
不妨设 \(S\) 含有非负数 . 由于 \(S\) 有上界，故可找到非负整数 \(n\)，使得
- 对于任何 \(x\in S\)，有 \(x<n+1\)
- 存在 \(a_0\in S\)，使 \(a_0\geqslant n\).
对半开区间 \([\ n\ ,\ n+1\ )\) 作 \(10\) 等分，分点为 \(n.1,n.2,\cdots,n.9\)，则存在 \(0,1,2,\cdots,9\) 中的一个数 \(n_1\)，使得
- 对于任何 \(x\in S\)，有 \(x<n.n_1+\dfrac 1{10}\)
- 存在 \(a_1\in S\)，使 \(a_1\geqslant n.n_1\).
再对半开区间 \([\ n.n_1\ ,\ n.n_1+\dfrac {1}{10}\ )\) 作 \(10\) 等分，则存在 \(0,1,2,\cdots ,9\) 中的一个数 \(n_2\)，使得
- 对于任何 \(x\in S\)，有 \(x<n.n_1n_2+\dfrac 1{10^2}\)
- 存在 \(a_2\in S\)，使 \(a_2\geqslant n.n_1n_2\).
连续不断地 \(10\) 等分在前一步骤中所得到的半开区间，可知对任何 \(k=1,2, \cdots\)，存在 \(0,1,2,\cdots ,9\) 中的一个数 \(n_k\)，使得
- 对于任何 \(x\in S\)，有 \(x<n.n_1n_2\cdots n_k+\dfrac 1{10^k}\)
- 存在 \(a_2\in S\)，使 \(a_2\geqslant n.n_1n_2\cdots n_k\).
将上述步骤无限进行下去，得到实数 \(\eta=n.n_1n_2\cdots n_k\cdots\). 以下证明 \(\eta=\sup S\). 为此只需证明：
- 对一切 \(x\in S\)，有 \(x\leqslant \eta\)
- 对任何 \(\alpha<\eta\)，存在 \(a'\in S\)，使 \(\alpha<a'\)
倘若结论 \(1\) 不成立，即存在 \(x\in S\)，使 \(x>\eta\)，则可找到 \(x\) 的 \(k\) 位不足近似 \(x_k\)，使
\[x_k>\overline{\eta}_k=n.n_1n_2\cdots n_k+\dfrac 1{10^k} \]从而得
\[x>n.n_1n_2\cdots n_k+\dfrac 1{10^k} \]但这与上面结论相矛盾，于是 \(1\) 得证
现设 \(\alpha<\eta\)，则存在 \(k\)，使 \(\eta\) 的 \(k\) 位不足近似 \(n_k>\overline{\alpha}_k\)，即
\[n.n_1n_2\cdots n_k>\overline{\alpha}_k. \]根据数 \(\eta\) 的构造，存在 \(a'\in S\)，使 \(a'\geqslant \eta_k\)，从而有
\[a'\geqslant\eta_k>\overline{\alpha}_k\geqslant\alpha. \]得到 \(\alpha<a'\)，说明 \(2\) 成立
该定理是极限理论的基础
若把 \(+\infty\) 和 \(-\infty\) 补充到实数集中，并规定任一实数 \(a\) 与 \(+\infty,-\infty\) 的大小关系为：\(a<+\infty\ ,a>-\infty\ ,-\infty<+\infty\)，则确界概念可扩充为：若数集 \(S\) 无上限，则定义 \(+\infty\) 为 \(S\) 的非正常上确界，记作 \(\sup S=+\infty\)；若 \(S\) 无下限，则定义 \(-\infty\) 为 \(S\) 的非正常下确界，记作 \(\inf S=-\infty\). 相应地根据前面定义 \(2\) 和定义 \(3\) 中所定义的确界分别成为正常上、下确界.
定理2（推广的确界原理）任一非空集必有上、下确界（正常的或非正常的）.
例如，对于正整数集 \(\mathbf{N}_+\)，有 \(\inf\mathbf{N}_+=1,\sup\mathbf{N}_+=+\infty\)；对于数集
\[S=\{y\ |\ y=2-x^2\ ,x\in\mathbf{R}\}, \]有 \(\inf S=-\infty,\sup S=2.\)