《数学分析》笔记:实数集和函数 2

§ 2 数集 · 确界原理

一 区间与邻域

区间

设 \(a,b\in\mathbf{R}\),且 \(a<b.\) 我们称数集 \(\left \{x\ |\ a<x<b\right \}\) 为开区间,记作 \((\ a\ ,\ b\ )\);数集 \(\left \{x\ |\ a\leqslant x\leqslant b\right \}\) 为闭区间,记作 \([\ a\ ,\ b\ ]\);数集 \(\left \{x\ |\ a\leqslant x<b\right \}\) 和 \(\left \{x\ |\ a< x\leqslant b\right \}\) 都称为半开半闭区间,分别记作 \([\ a\ , \ b\ )\) 和 \((\ a\ ,\ b\ ]\). 以上这几类区间统称为有限区间.
满足关系式 \(x\geqslant a\) 的全体实数 \(x\) 的集合记作 \([\ a\ ,\ +\infty \ )\),这里符号 $\infty $ 读作“无穷大”,\(+\infty\) 读作“正无穷大” . 类似地,我们记

\[(\ -\infty\ ,\ a]=\{x\ |\ x\leqslant a\},(\ a\ ,\ +\infty\ )=\{x\ |\ x>a\} \]

\[(\ -\infty\ ,\ a)=\{x\ |\ x< a\},(\ -\infty \ ,\ +\infty\ )=\{x\ |\ -\infty < x<+\infty\}=\mathbf{R} \]

其中 \(-\infty\) 读作“负无穷大”. 以上这几类数集都称为无限区间. 有限区间和无限区间统称为区间.

邻域

设 \(a\in\mathbf{R},\delta>0\). 满足绝对值不等式 \(|x-a|<\delta\) 的全体实数 \(x\) 的集合称为点 \(a\) 的 \(\delta\) 邻域,记作 \(U(a;\delta)\),或简单地写作 \(U(a)\),即有

\[U(a;\delta)=\{x\ |\ |x-a|<\delta\}=(\ a-\delta\ ,\ a+\delta\ ). \]

点 \(a\) 的空心 \(\delta\) 邻域定义为

\[U^{\circ }(a;\delta)=\{x\ |\ 0<|x-a|<\delta\}, \]

几种常用邻域

  1. 点 \(a\) 的 \(\delta\) 右邻域 \(U_+(a;\delta)=[\ a\ ,\ a+\delta\ )\),简记为 \(U_+(a)\)
  2. 点 \(a\) 的 \(\delta\) 左邻域 \(U_-(a;\delta)=(\ a-\delta\ ,\ a\ ]\),简记为 \(U_-(a)\)
  3. \(U_-(a)\) 和 \(U_+(a)\) 去除点 \(a\) 后,分别为点 \(a\) 的空心 \(\delta\) 左、右邻域,简记为 \(U^\circ _ -(a)\) 与 \(U^\circ _ +(a)\)
  4. \(\infty\) 邻域 \(U(\infty)=\{x\ |\ |x|>M\}\),其中 \(M\) 为充分大的正数(下同)
  5. \(+\infty\) 邻域 \(U(+\infty)=\{x\ |\ x>M\}\)
  6. \(-\infty\) 邻域 \(U(-\infty)=\{x\ |\ x<-M\}\)

二 有界集·确界原理

定义

定义1 设 \(S\) 为 \(\mathbf{R}\) 中的一个数集 . 若存在数 \(M(L)\),使得对一切 \(x\in S\),都有 \(x\leqslant M(x\geqslant L)\),则称 \(S\) 为有上界(下界)的数集,数 \(M(L)\) 称为 \(S\) 的一个上界(下界) . 若数集 \(S\) 既有上界又有下界,则称 \(S\) 为有界集 . 若 \(S\) 不是有界集,则称 \(S\) 为*集 .

定义2 设 \(S\) 为 \(\mathbf{R}\) 中的一个数集 . 若数 \(\eta\) 满足:

  1. 对一切 \(x\in S\),有 \(x\leqslant \eta\),即 \(\eta\) 是 \(S\) 的上界

  2. 对任何 \(\alpha<\eta\),存在 \(x_0\in S\),使得 \(x_0>\alpha\),即 \(\eta\) 又是 \(S\) 的最小上界
    则称数 \(\eta\) 为数集 \(S\) 的上确界,记作

\[\eta=\sup S. \]

定义3 设 \(S\) 是 \(\mathbf{R}\) 中的一个数集 . 若数 \(\xi\) 满足:

  1. 对一切 \(x\in S\),有 \(x\geqslant \xi\),即 \(\xi\) 是 \(S\) 的下界
  2. 对任何 \(\beta >\xi\),存在 \(x_0\in S\),使得 \(x_0<\beta\),即 \(\xi\) 又是 \(S\) 的最大下界

则称数 \(\xi\) 为数集 \(S\) 的下确界,记作

\[\xi=\inf S. \]

上确界与下确界统称为确界

重要定理

※定理1(确界原理) 设 \(S\) 为非空数集 . 若 \(S\) 有上界,则 \(S\) 必有上确界;若 \(S\) 有下界,则 \(S\) 必有下确界 .

※证 我们只证明上确界的结论,后一结论可以类似地证明 .

不妨设 \(S\) 含有非负数 . 由于 \(S\) 有上界,故可找到非负整数 \(n\),使得

  1. 对于任何 \(x\in S\),有 \(x<n+1\)
  2. 存在 \(a_0\in S\),使 \(a_0\geqslant n\).

对半开区间 \([\ n\ ,\ n+1\ )\) 作 \(10\) 等分,分点为 \(n.1,n.2,\cdots,n.9\),则存在 \(0,1,2,\cdots,9\) 中的一个数 \(n_1\),使得

  1. 对于任何 \(x\in S\),有 \(x<n.n_1+\dfrac 1{10}\)
  2. 存在 \(a_1\in S\),使 \(a_1\geqslant n.n_1\).

再对半开区间 \([\ n.n_1\ ,\ n.n_1+\dfrac {1}{10}\ )\) 作 \(10\) 等分,则存在 \(0,1,2,\cdots ,9\) 中的一个数 \(n_2\),使得

  1. 对于任何 \(x\in S\),有 \(x<n.n_1n_2+\dfrac 1{10^2}\)
  2. 存在 \(a_2\in S\),使 \(a_2\geqslant n.n_1n_2\).

连续不断地 \(10\) 等分在前一步骤中所得到的半开区间,可知对任何 \(k=1,2, \cdots\),存在 \(0,1,2,\cdots ,9\) 中的一个数 \(n_k\),使得

  1. 对于任何 \(x\in S\),有 \(x<n.n_1n_2\cdots n_k+\dfrac 1{10^k}\)
  2. 存在 \(a_2\in S\),使 \(a_2\geqslant n.n_1n_2\cdots n_k\).

将上述步骤无限进行下去,得到实数 \(\eta=n.n_1n_2\cdots n_k\cdots\). 以下证明 \(\eta=\sup S\). 为此只需证明:

  1. 对一切 \(x\in S\),有 \(x\leqslant \eta\)
  2. 对任何 \(\alpha<\eta\),存在 \(a'\in S\),使 \(\alpha<a'\)

倘若结论 \(1\) 不成立,即存在 \(x\in S\),使 \(x>\eta\),则可找到 \(x\) 的 \(k\) 位不足近似 \(x_k\),使

\[x_k>\overline{\eta}_k=n.n_1n_2\cdots n_k+\dfrac 1{10^k} \]

从而得

\[x>n.n_1n_2\cdots n_k+\dfrac 1{10^k} \]

但这与上面结论相矛盾,于是 \(1\) 得证

现设 \(\alpha<\eta\),则存在 \(k\),使 \(\eta\) 的 \(k\) 位不足近似 \(n_k>\overline{\alpha}_k\),即

\[n.n_1n_2\cdots n_k>\overline{\alpha}_k. \]

根据数 \(\eta\) 的构造,存在 \(a'\in S\),使 \(a'\geqslant \eta_k\),从而有

\[a'\geqslant\eta_k>\overline{\alpha}_k\geqslant\alpha. \]

得到 \(\alpha<a'\),说明 \(2\) 成立

该定理是极限理论的基础

若把 \(+\infty\) 和 \(-\infty\) 补充到实数集中,并规定任一实数 \(a\) 与 \(+\infty,-\infty\) 的大小关系为:\(a<+\infty\ ,a>-\infty\ ,-\infty<+\infty\),则确界概念可扩充为:若数集 \(S\) 无上限,则定义 \(+\infty\) 为 \(S\) 的非正常上确界,记作 \(\sup S=+\infty\);若 \(S\) 无下限,则定义 \(-\infty\) 为 \(S\) 的非正常下确界,记作 \(\inf S=-\infty\). 相应地根据前面定义 \(2\) 和定义 \(3\) 中所定义的确界分别成为正常上、下确界.

定理2(推广的确界原理)任一非空集必有上、下确界(正常的或非正常的).

例如,对于正整数集 \(\mathbf{N}_+\),有 \(\inf\mathbf{N}_+=1,\sup\mathbf{N}_+=+\infty\);对于数集

\[S=\{y\ |\ y=2-x^2\ ,x\in\mathbf{R}\}, \]

有 \(\inf S=-\infty,\sup S=2.\)

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