开启一个在线学习和在线凸优化框架专题学习：

1.首先介绍在线学习的相关概念

在线学习是在一系列连续的回合（rounds）中进行的；

在回合,学习机（learner）被给一个question：(一个向量，即为特征向量),为从instance domain：采样得到的。学习机给出一个预测值：，然后得到正确的答案：，从target domain：采样得到，定义损失函数为。在大多数情况下，在中，但是，允许学习者从更大的集合中选择预测有时很方便，我们用D表示prediction domain。下图展示了在线学习框架：

2在线学习考虑的两个限制

第一个限制特别适合于在线分类的情况：

我们假设所有的answer都是由一些target mapping生成的:，取自固定集合，称为假设类，由H表示，这是学习者已知的。由于这种对序列的限制，我们称之为realizable case，学习者应该尽可能少犯错误，假设和问题的顺序可以由对手来选择。对于在线学习算法A，我们用表示A在一系列用标记的例子上可能犯的最大错误数。我们再次强调和问题的顺序可以由对手来选择。的上界称为mistake bound，我们将研究如何设计最小的算法。

第二个限制是relaxation of the realizable assumption:

我们不再假设所有答案都是由产生，但是我们要求学习机与来自H最好的固定预测器竞争。这被算法的regret所捕获，regret度量了回顾过去，学习机有多“抱歉”没有遵循一些假设的预测。形式上，算法相对于的regret当在一系列T实例上运行时定义为：

算法相对于假设类H的regret是：

　　学习机的目标是相对于H具有尽可能低的regret。我们有时会对“low regret”算法感到满意，我们认为与轮数T呈次线性增长，其意味着当T变为无穷大时，学习机的平均损失与H中最佳假设的平均损失之间的差异趋于零。

次线性增长：

3.在线学习算法的使用例子

（1）在线回归

（2）专家建议预测

（3）在线排名（推荐系统）

未完，待续。。。。。。

下一节我们将从一个在线分类的例子说起。