一、最优化问题解的存在性

考虑优化问题（5.1.1）：

min ⁡ x ∈ R n f ( x ) s . t . x ∈ X ( 5.1.1 ) \min\limits_{x\in\mathbb{R}^n}\quad f(x)\\s.t.\quad x\in\mathcal{X}\quad\quad(5.1.1) x∈Rnmin​f(x)s.t.x∈X(5.1.1)

其中 x ∈ X x\in\mathcal{X} x∈X为可行域，对于问题（5.1.1），首先要考虑的是最优解的存在性，然后考虑如何求出其最优解。数学分析中Weierstrass定理说明，定义在紧集上的连续函数一定存在最大（最小）值点。而在许多实际问题中，定义域可能不是紧的，目标函数也不一定连续，因此需要将此定理推广来保证最优化问题解的存在性。

定理5.1

考虑一个适当且闭的函数 f : X → ( − ∞ , + ∞ ] f:\mathcal{X}\to(-\infty,+\infty] f:X→(−∞,+∞]，假设下面三个条件中任意一个成立：