本文主要介绍进制、进制转换、原码反码补码的知识。

文章目录

• • 1. 进制
  • 2. 进制转换
  • • 2.1 十进制转换为其它进制
    • 2.2 其它进制转换为十进制
    • 2.3 二进制、八进制、十六进制之间的转换
  • 3. 二进制中的存储单位
  • 4. 原码、反码、补码
  • • 4.1 原码、反码和补码
    • 4.2 为什么用补码存储整数？
  • 参考资料

1. 进制

本章主要介绍什么是进制。现有数字 6179，从右到左分别为个位、十位、百位、千位，这是我们小学的知识了（所以不用害怕知识有多难，我们小学就接触了）。

6179 就是一个十进制数，而我们在平时的生活中接触到的也是十进制数。现在我们来说说十进制数的特点：

• 从右到左，分别为个位、十位、百位、千位、万位…；
• 每一位上的数字可以为0-9之间的任意一个数字；
• 逢十进一；

在编程世界中，最基础的是二进制，那么什么是二进制呢？类比十进制，二进制有如下特点：

• 我们也可以将二进制的数从右到左分为每一位；
• 每一位上的数字要么是0，要么是1；
• 逢二进一；

例如，二进制下的数字 10010。

除了二进制，我们还常用八进制、十六进制。再次总结一下进制的知识：

• 对于n进制，每一位上的数字可以为[0,n-1]；
• 对于n进制，低位的数字逢n进一。

以十六进制为例，每一位上的数字可以为[0，15]，例如：

可是，这种表示方法有歧义，我们用一个方框表示一位，可是在实际使用中是没有这个方框的，那么就会显示如下图，可以有两种以上的理解：

这就造成了歧义，原因是[10,15]的数字我们用了两位来表示，为了消除歧义，我们用A-F分别表示10-15：

所以十六进制的每一位上的数字可以为[0,15]，但是为了消除歧义，10-15分别用A-F来表示。

2. 进制转换

本节主要介绍同一个整数不同进制之间的转换。对于小数的进制转换，感兴趣的同学可以自行查阅资料。我们以角标 X ( n ) X_{(n)} X(n)​表示X是n进制数。

2.1 十进制转换为其它进制

我们分别以二进制、八进制为例，介绍十进制是如何转换为其它进制的。

其实十进制转换为其他进制所采用的方法是一样的，假设十进制转换为n进制，那么该方法可以称为“除n取余，逆序排列”。更准确地描述为，现有一个十进制数x，将其转换为n进制数，则转换方法为：

• 首先计算 x ÷ n = p … q，得到商为p，余数为 q；
• 再根据上一步得到的商 p 继续同样的步骤 p ÷ n = p 1 . . . q 1 p_1 ... q_1 p1​...q1​，得到商为 p 1 p_1 p1​，余数为 q 1 q_1 q1​；
• 直到商为0；
• 最后将余数逆序从左至右排列 p n p n − 1 . . . p 1 p p_np_{n-1}...p_1p pn​pn−1​...p1​p，则 p n p n − 1 . . . p 1 p p_np_{n-1}...p_1p pn​pn−1​...p1​p就是转换后的n进制数；

以十进制数 10 0 ( 10 ) 100_{(10)} 100(10)​转换为二进制数为例：
第 一 步 ： 100 ÷ 2 = 50...0 第 二 步 ： 50 ÷ 2 = 25...0 第 三 步 ： 25 ÷ 2 = 12...1 第 四 步 : 12 ÷ 2 = 6...0 第 五 步 ： 6 ÷ 2 = 3...0 第 六 步 ： 3 ÷ 2 = 1...1 第 七 步 ： 1 ÷ 2 = 0...1 第一步： 100 \div 2 = 50 ... 0 \\ 第二步： 50 \div 2 = 25 ... 0 \\ 第三步： 25 \div 2 = 12 ... 1 \\ 第四步: 12 \div 2 = 6 ... 0 \\ 第五步： 6 \div 2 = 3 ... 0 \\ 第六步： 3 \div 2 = 1 ... 1 \\ 第七步： 1 \div 2 = 0 ... 1 \\ 第一步：100÷2=50...0第二步：50÷2=25...0第三步：25÷2=12...1第四步:12÷2=6...0第五步：6÷2=3...0第六步：3÷2=1...1第七步：1÷2=0...1
最后将余数逆序排列，得到 10 0 ( 10 ) 100_{(10)} 100(10)​的二进制形式为 110010 0 ( 2 ) 1100100_{(2)} 1100100(2)​。

在实际的转换中，我们可以按照如下的写法进行简化：

同理，十进制数 10 0 ( 10 ) 100_{(10)} 100(10)​转换为八进制数的步骤如下：

即十进制数 10 0 ( 10 ) 100_{(10)} 100(10)​转换为八进制数为 14 4 ( 8 ) 144_{(8)} 144(8)​。

2.2 其它进制转换为十进制

现有一个n进制数 p x − 1 . . . p 1 p 0 p_{x-1}...p_1p_0 px−1​...p1​p0​，共有x位，则将其转换位十进制数的公式为：

例如，现有二进制数 1110110 0 ( 2 ) 11101100_{(2)} 11101100(2)​，转换为十进制数如下：

2.3 二进制、八进制、十六进制之间的转换

由于二进制、八进制和十六进制之间存在特殊的对应关系，所以二进制和八进制、十六进制之间的互相转换存在简便方法。

首先，我们先确定三位二进制数的对应关系：

000	001	010	011	100	101	110	111
0	1	2	3	4	5	6	7

三位二进制数所对应的十进制数为0—7，这就是八进制中的八个数字。

二进制数转换为八进制数的方法如下：对于二进制数，从右到左，以三位二进制数为一组，若最后一组不足三位，则高位补零。然后依次将每组的二进制数按照对应关系转换为八进制数，得到的结果就是八进制数。

例如，现有二进制数 1100110101001 0 ( 2 ) 11001101010010_{(2)} 11001101010010(2)​，将其转换为八进制数的步骤如下：

首先从右到左以三位二进制数为一组：
11 001 101 010 010 11 \quad 001 \quad 101 \quad 010 \quad 010 11001101010010
可以看到最左边的一组（最后一组）不足三位，则最高位补零：
011 001 101 010 010 011 \quad 001 \quad 101 \quad 010 \quad 010 011001101010010
然后按照对应关系，将每组转换为八进制数：
011 001 101 010 010 = 3 1 5 2 2 = 3152 2 ( 8 ) 011 \quad 001 \quad 101 \quad 010 \quad 010 = 3\quad 1\quad 5 \quad 2\quad 2 = 31522_{(8)} 011001101010010=31522=31522(8)​
即二进制数 1100110101001 0 ( 2 ) 11001101010010_{(2)} 11001101010010(2)​转换为八进制数为 3152 2 ( 8 ) 31522_{(8)} 31522(8)​。

同理，二进制数转换为十六进制数，就是四位二进制数与十六进制数的对应关系：

0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111
0	1	2	3	4	5	6	7
1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111
8	9	A	B	C	D	E	F

转换方法类似：对于二进制数，从右到左，以四位二进制数为一组，若最后一组不足四位，则高位补零。然后依次将每组的二进制数按照对应关系转换为十六进制数，得到的结果就是十六进制数。

例如，现有二进制数 1110111101001 0 ( 2 ) 11101111010010_{(2)} 11101111010010(2)​，将其转换为十六进制数的步骤如下：

首先从右到左以四位二进制数为一组：
11 1011 1101 0010 11 \quad 1011 \quad 1101 \quad 0010 11101111010010
可以看到最左边的一组（最后一组）不足四位，则最高位补零：
0011 1011 1101 0010 0011 \quad 1011 \quad 1101 \quad 0010 0011101111010010
然后按照对应关系，将每组转换为十六进制数：
0011 1011 1101 0010 = 3 B D 2 = 3 B D 2 ( 16 ) 0011 \quad 1011 \quad 1101 \quad 0010 = 3 \quad B \quad D \quad2 = 3BD2_{(16)} 0011101111010010=3BD2=3BD2(16)​
即二进制数 1110111101001 0 ( 2 ) 11101111010010_{(2)} 11101111010010(2)​转换为十六进制数为 3 B D 2 ( 16 ) 3BD2_{(16)} 3BD2(16)​。

3. 二进制中的存储单位

对于二进制中的一位，我们称之为比特位(bit)，即一位=1bit，在此基础上，有如下单位：

• 1字节=8位，即1byte=8bit，缩写为1B = 8b
• 1千字节 = 1024字节，即 1 K B = 2 10 B 1KB = 2^{10}B 1KB=210B
• 1兆字节 = 1024千字节，即 1 M B = 2 20 B 1 MB = 2^{20}B 1MB=220B
• 1吉字节 = 1024兆字节，即 1 G B = 2 30 B 1GB = 2^{30}B 1GB=230B
• 1太字节 = 1024吉字节，即 1 T B = 1024 G B = 2 40 B 1 TB = 1024GB = 2^{40}B 1TB=1024GB=240B

还有更高的单位，但是平时也涉及不到，因此此处只罗列常见的。

4. 原码、反码、补码

4.1 原码、反码和补码

本文介绍整数的几种编码方式。

**原码：**原码将数字的二进制分为两部分，符号位和数字的绝对值二进制表示；对于正数来说，符号位为0；对于负数来说，符号位为1。例如，用8位二进制位来存储整数，10和-10的原码表示如下：

10:  0000 1010
-10: 1000 1010

反码：对于正数来说，反码就是原码；对于负数来说，反码就是在原码的基础上，符号位不变，其余位反转。例如，10和-10的反码如下：

10:  0000 1010
-10: 1111 0101

补码：对于正数来说，补码就是原码；对于负数来说，补码就是在反码的基础上，加1。例如，10和-10的补码如下：

10:  0000 1010
-10: 1111 0110

在C语言中，存储整数都是按照补码的形式来存储的。

从十进制整数到二进制补码的转换我们已经了解了，那么如何从补码快速得到十进制整数呢？
对 于 一 个 n 位 的 二 进 制 补 码 { x n − 1 , x n − 2 . . . x 1 , x 0 } 来 说 ， 将 其 转 换 为 对 应 的 十 进 制 整 数 方 法 如 下 ： { x n − 1 , x n − 2 . . . x 1 , x 0 } = − x n − 1 ∗ 2 n − 1 + ∑ k = 0 n − 2 x k 2 k 对于一个n位的二进制补码\{x_{n-1}, x_{n-2} ... x_1, x_0\}来说，将其转换为对应的十进制整数方法如下：\\ \{x_{n-1}, x_{n-2} ... x_1, x_0\} = -x_{n-1}*2^{n-1} + \sum_{k = 0}^{n-2}x^{k}2^k 对于一个n位的二进制补码{xn−1​,xn−2​...x1​,x0​}来说，将其转换为对应的十进制整数方法如下：{xn−1​,xn−2​...x1​,x0​}=−xn−1​∗2n−1+k=0∑n−2​xk2k

4.2 为什么用补码存储整数？

首先我们来看原码的不足之处：

• 原码计算涉及负数的减法存在问题。例如，计算 1 - 1，1 - 1 也可以看成 1 + （ -1 ） ，则转换为原码（以8位二进制数来存储整数）为：

  1 + (-1) = 00000001 + 10000001 = 10000010 = -2
  

  这样的计算结果显然是不对的。

• 在原码表示中，0有两种表示方式。

  00000000: +0
  10000000: -0
  

  在原码表示中，0分为了+0和-0，这显然是不符合我们的习惯的，0是不分正负的。

再来看看反码有何不足之处：

• 反码对于两个负数的加法计算存在问题。例如，计算 - 1 + (-1)：

  -1 + (-1) = 11111110 + 11111110 = 1 00000000 = 00000000 = 0
  

  由于只用8位二进制位来存储数据，所以最高位的1省去。最后结果为0，结果显然不对。

• 在反码表示中，0仍然有两种表示方式。

  00000000: +0
  11111111: -0
  

为了解决原码和反码存在的问题，提出了补码。

参考资料

[1] 进制：https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%BF%9B%E4%BD%8D%E5%88%B6