一、线性神经网络

（一）线性回归

1、线性模型

线性模型被看做单层神经网络。

2、损失函数

损失函数能够量化目标的实际值与预测值之间的差距。

 3、解析解

 

 4、优化方法：小批量梯度下降算法

对于没有解析解的情况，梯度下降通过不断地在损失函数递减的方向上更新参数来降低误差。计算损失函数关于模型参数的导数（梯度）。但实际中的执行可能会非常慢：因为在每一次更新参数之前，我们必须遍历整个数据集。因此，我们通常会在每次需要计算更新的时候随机抽取一小批样本，这种变体叫做小批量随机梯度下降，批量大小为b。

 （二）线性回归的实现

1、生成数据集

def synthetic_data(w, b, num_examples):  #@save
    """生成 y = Xw + b + 噪声。"""
    X = torch.normal(0, 1, (num_examples, len(w)))
    y = torch.matmul(X, w) + b
    y += torch.normal(0, 0.01, y.shape)
    return X, y.reshape((-1, 1))

true_w = torch.tensor([2, -3.4])
true_b = 4.2
features, labels = synthetic_data(true_w, true_b, 1000)

2、读取数据集

打乱数据集中的样本并以小批量方式获取数据。我们定义一个data_iter函数， 该函数接收批量大小、特征矩阵和标签向量作为输入，生成大小为batch_size的小批量。每个小批量包含一组特征和标签。

def data_iter(batch_size, features, labels):
    num_examples = len(features)
    indices = list(range(num_examples))
    # 这些样本是随机读取的，没有特定的顺序
    random.shuffle(indices)
    for i in range(0, num_examples, batch_size):
        batch_indices = torch.tensor(
            indices[i: min(i + batch_size, num_examples)])
        yield features[batch_indices], labels[batch_indices]

3、初始化模型参数

从均值为0、标准差为0.01的正态分布中采样随机数来初始化权重，并将偏置初始化为0。

w = torch.normal(0, 0.01, size=(2,1), requires_grad=True)
b = torch.zeros(1, requires_grad=True)

4、定义模型

def linreg(X, w, b):  #@save
    """线性回归模型。"""
    return torch.matmul(X, w) + b

5、定义损失函数

这里我们使用平方损失函数。 在实现中，我们需要将真实值y的形状转换为和预测值y_hat的形状相同。

def squared_loss(y_hat, y):  #@save
    """均方损失。"""
    return (y_hat - y.reshape(y_hat.shape)) ** 2 / 2

6、定义优化算法

该函数接受模型参数集合、学习速率和批量大小作为输入。每一步更新的大小由学习速率lr决定。 因为我们计算的损失是一个批量样本的总和，所以我们用批量大小（batch_size）来归一化步长，这样步长大小就不会取决于我们对批量大小的选择。

def sgd(params, lr, batch_size):  #@save
    """小批量随机梯度下降。"""
    with torch.no_grad():
        for param in params:
            param -= lr * param.grad / batch_size
            param.grad.zero_()

7、训练

迭代周期个数num_epochs和学习率lr都是超参数，置超参数很棘手，需要通过反复试验进行调整。 

lr = 0.03
num_epochs = 3
net = linreg
loss = squared_loss

for epoch in range(num_epochs):
    for X, y in data_iter(batch_size, features, labels):
        l = loss(net(X, w, b), y)  # `X`和`y`的小批量损失
        # 因为`l`形状是(`batch_size`, 1)，而不是一个标量。`l`中的所有元素被加到一起，
        # 并以此计算关于[`w`, `b`]的梯度
        l.sum().backward()
        sgd([w, b], lr, batch_size)  # 使用参数的梯度更新参数
    with torch.no_grad():
        train_l = loss(net(features, w, b), labels)
        print(f'epoch {epoch + 1}, loss {float(train_l.mean()):f}')

（三）线性回归的简洁实现

使用深度学习框架来简洁地实现（二）中的线性回归模型。

1、生成数据集

import numpy as np
import torch
from torch.utils import data
from d2l import torch as d2l


true_w = torch.tensor([2, -3.4])
true_b = 4.2
features, labels = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, 1000)

2、读取数据集

我们可以调用框架中现有的API来读取数据。我们将features和labels作为API的参数传递，并在实例化数据迭代器对象时指定batch_size。此外，布尔值is_train表示是否希望数据迭代器对象在每个迭代周期内打乱数据。

def load_array(data_arrays, batch_size, is_train=True):  #@save
    """构造一个PyTorch数据迭代器。"""
    dataset = data.TensorDataset(*data_arrays)
    return data.DataLoader(dataset, batch_size, shuffle=is_train)

batch_size = 10
data_iter = load_array((features, labels), batch_size)

3、定义模型

在PyTorch中，全连接层在Linear类中定义。值得注意的是，我们将两个参数传递到nn.Linear中。第一个指定输入特征形状，即2，第二个指定输出特征形状，输出特征形状为单个标量，因此为1。

# `nn` 是神经网络的缩写
from torch import nn

net = nn.Sequential(nn.Linear(2, 1))

4、初始化模型参数

正如我们在构造nn.Linear时指定输入和输出尺寸一样。现在我们直接访问参数以设定初始值。我们通过net[0]选择网络中的第一个图层，然后使用weight.data和bias.data方法访问参数。然后使用替换方法normal_和fill_来重写参数值。在这里，我们指定每个权重参数应该从均值为0、标准差为0.01的正态分布中随机采样，偏置参数将初始化为零。

net[0].weight.data.normal_(0, 0.01)
net[0].bias.data.fill_(0)

5、定义损失函数

计算均方误差使用的是MSELoss类，也称为平方L2范数。默认情况下，它返回所有样本损失的平均值。

loss = nn.MSELoss()

6、定义优化算法

小批量随机梯度下降算法是一种优化神经网络的标准工具，PyTorch在optim模块中实现了该算法的许多变种。当我们实例化SGD实例时，我们要指定优化的参数（可通过net.parameters()从我们的模型中获得）以及优化算法所需的超参数字典。小批量随机梯度下降只需要设置lr值，这里设置为0.03。

trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=0.03)

7、训练

在每个迭代周期里，我们将完整遍历一次数据集（train_data），不停地从中获取一个小批量的输入和相应的标签。对于每一个小批量，我们会进行以下步骤:

• 通过调用net(X)生成预测并计算损失l（正向传播）。

• 通过进行反向传播来计算梯度。

• 通过调用优化器来更新模型参数。

• num_epochs = 3
  for epoch in range(num_epochs):
      for X, y in data_iter:
          l = loss(net(X) ,y)
          trainer.zero_grad()
          l.backward()
          trainer.step()
      l = loss(net(features), labels)
      print(f'epoch {epoch + 1}, loss {l:f}')

（四）Softmax回归

 常用损失函数：

（1）L2 Loss                   （2）L1 Loss                        （3）Huber's Robust Loss

（五）图片分类数据集

%matplotlib inline
import torch
import torchvision
from torch.utils import data
from torchvision import transforms
from d2l import torch as d2l

d2l.use_svg_display()

1、读取数据集

可以通过框架中的内置函数将Fashion-MNIST数据集下载并读取到内存中。

# 通过ToTensor实例将图像数据从PIL类型变换成32位浮点数格式
# 并除以255使得所有像素的数值均在0到1之间
trans = transforms.ToTensor()
mnist_train = torchvision.datasets.FashionMNIST(
    root="../data", train=True, transform=trans, download=True)
mnist_test = torchvision.datasets.FashionMNIST(
    root="../data", train=False, transform=trans, download=True)

Fashion-MNIST中包含10个类别，每个类别包括6000张训练数据和1000张测试数据。以下函数用于在数字标签索引及其文本名称之间进行转换。

def get_fashion_mnist_labels(labels):  #@save
    """返回Fashion-MNIST数据集的文本标签。"""
    text_labels = ['t-shirt', 'trouser', 'pullover', 'dress', 'coat',
                   'sandal', 'shirt', 'sneaker', 'bag', 'ankle boot']
    return [text_labels[int(i)] for i in labels]

2、读取小批量

使用内置的数据迭代器，在每次迭代中，数据加载器每次都会读取一小批量数据，大小为batch_size。我们在训练数据迭代器中还随机打乱了所有样本。

batch_size = 256

def get_dataloader_workers():  #@save
    """使用4个进程来读取数据。"""
    return 4

train_iter = data.DataLoader(mnist_train, batch_size, shuffle=True,
                             num_workers=get_dataloader_workers())

看一下读取训练数据所需的时间。

timer = d2l.Timer()
for X, y in train_iter:
    continue
f'{timer.stop():.2f} sec'

3、整合所有组件

我们定义load_data_fashion_mnist函数，用于获取和读取Fashion-MNIST数据集。它返回训练集和验证集的数据迭代器。此外，它还接受一个可选参数resize，用来将图像大小调整为另一种形状。

def load_data_fashion_mnist(batch_size, resize=None):  #@save
    """下载Fashion-MNIST数据集，然后将其加载到内存中。"""
    trans = [transforms.ToTensor()]
    if resize:
        trans.insert(0, transforms.Resize(resize))
    trans = transforms.Compose(trans)
    mnist_train = torchvision.datasets.FashionMNIST(
        root="../data", train=True, transform=trans, download=True)
    mnist_test = torchvision.datasets.FashionMNIST(
        root="../data", train=False, transform=trans, download=True)
    return (data.DataLoader(mnist_train, batch_size, shuffle=True,
                            num_workers=get_dataloader_workers()),
            data.DataLoader(mnist_test, batch_size, shuffle=False,
                            num_workers=get_dataloader_workers()))

通过指定resize参数来测试load_data_fashion_mnist函数的图像大小调整功能。

train_iter, test_iter = load_data_fashion_mnist(32, resize=64)
for X, y in train_iter:
    print(X.shape, X.dtype, y.shape, y.dtype)
    break

torch.Size([32, 1, 64, 64]) torch.float32 torch.Size([32]) torch.int64

（六）Softmax回归的实现

import torch
from IPython import display
from d2l import torch as d2l


batch_size = 256
train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size)

1、初始化模型参数

原始数据集中的每个样本都是28×2828×28的图像。在本节中，我们将展平每个图像，把它们看作长度为784的向量。在softmax回归中，我们的输出与类别一样多。因为我们的数据集有10个类别，所以网络输出维度为10。与线性回归一样，我们将使用正态分布初始化我们的权重W，偏置初始化为0。

num_inputs = 784
num_outputs = 10

W = torch.normal(0, 0.01, size=(num_inputs, num_outputs), requires_grad=True)
b = torch.zeros(num_outputs, requires_grad=True)

2、定义softmax操作

softmax由三个步骤组成： （1）对每个项求幂（使用exp）； （2）对每一行求和（小批量中每个样本是一行），得到每个样本的归一化常数； （3）将每一行除以其归一化常数，确保结果的和为1。

def softmax(X):
    X_exp = torch.exp(X)
    partition = X_exp.sum(1, keepdim=True)
    return X_exp / partition  # 这里应用了广播机制

3、定义模型

下面的代码定义了输入如何通过网络映射到输出。注意，在将数据传递到我们的模型之前，我们使用reshape函数将每张原始图像展平为向量。

def net(X):
    return softmax(torch.matmul(X.reshape((-1, W.shape[0])), W) + b)

4、定义损失函数

5、分类准确率

6、训练

7、预测

（七）Softmax回归的简洁实现

二、多层感知机

（一）多层感知机

 （二）多层感知机的实现

1、初始化模型参数

num_inputs, num_outputs, num_hiddens = 784, 10, 256

W1 = nn.Parameter(torch.randn(
    num_inputs, num_hiddens, requires_grad=True) * 0.01)
b1 = nn.Parameter(torch.zeros(num_hiddens, requires_grad=True))
W2 = nn.Parameter(torch.randn(
    num_hiddens, num_outputs, requires_grad=True) * 0.01)
b2 = nn.Parameter(torch.zeros(num_outputs, requires_grad=True))

params = [W1, b1, W2, b2]

2、激活函数

def relu(X):
    a = torch.zeros_like(X)
    return torch.max(X, a)

3、模型

我们使用reshape将每个二维图像转换为一个长度为num_inputs的向量。

def net(X):
    X = X.reshape((-1, num_inputs))
    H = relu(X@W1 + b1)  # 这里“@”代表矩阵乘法
    return (H@W2 + b2)

4、损失函数

直接使用高级API中的内置函数来计算softmax和交叉熵损失。

loss = nn.CrossEntropyLoss()

5、训练

多层感知机的训练过程与softmax回归的训练过程完全相同。可以直接调用d2l包的train_ch3函数。

num_epochs, lr = 10, 0.1
updater = torch.optim.SGD(params, lr=lr)
d2l.train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, updater)

 （三）多层感知机的简洁实现

import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l

与softmax回归的简洁实现相比，唯一的区别是我们添加了2个全连接层（之前我们只添加了1个全连接层）。第一层是隐藏层，它包含256个隐藏单元，并使用了ReLU激活函数。第二层是输出层。

net = nn.Sequential(nn.Flatten(),
                    nn.Linear(784, 256),
                    nn.ReLU(),
                    nn.Linear(256, 10))

def init_weights(m):
    if type(m) == nn.Linear:
        nn.init.normal_(m.weight, std=0.01)

net.apply(init_weights);

batch_size, lr, num_epochs = 256, 0.1, 10
loss = nn.CrossEntropyLoss()
trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=lr)

train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size)
d2l.train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, trainer)

（四）模型选择、欠拟合和过拟合

训练误差：模型在训练数据集上计算得到的误差。

泛化误差：模型在新数据集上计算得到的误差。

验证数据集：一个用来评估模型好坏的数据集。

测试数据集：只用一次的数据集。

k折交叉验证法：

 过拟合：

欠拟合：

（五）权重衰减

 

（六）Dropout