方向导数与梯度

2024-01-29 09:53:52

1 全导数概念引入

全导数是多元函数中的一个概念。

我们知道一元函数的情况下，导数就是函数的变化率，从几何意义上看就是：

但是在多元的情况下比一元的复杂，下面用二元函数来举例，例如这样一个曲面上的一个点 A A A：

在曲面上可以做无数条过 A A A点的曲线（这里随便画了三根）：

每根曲线都可能可以（也有做不出来的情况，其实一元的时候也有做不出切线的情况）做一根切线，比如（这里随便挑了一条蓝色的曲线来画，都画出来太乱了）：

全导数的意义：每一根切线都和一个全导数”相关“， A A A点有无数个全导数。

最精简的回答已经回答完了，接下来我们讲一些细节，主要阐述下面两个细节：

方向导数、偏导数是特殊的全导数
每一根切线都和一个全导数”相关“

顺便说下，如果所有这些切线共面的话，那么这个平面就是切平面（全微分）待补充

2 参数方程

为了继续介绍，我们需要引入参数方程的知识。

2.1 通过参数方程来描述所有的曲线

首先，我们随便画一条过 A A A点的曲线：

这条曲线也是一个关于 x , y x,y x,y的函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)，因此它与 x y xy xy平面上的曲线具有一一对应的关系：

因此我们只需要描述 x y xy xy上的曲线就可以达到描述曲面的曲线的目的，这时候就很自然的可以使用参数方程了。

举个具体的例子，对于 f ( x , y ) = x 2 + y 2 f(x,y)=x^2+y^2 f(x,y)=x2+y2这个二元函数，函数图像是这样的：

注意此时的 x , y x,y x,y都可以*改变：

但是如果增加参数方程：
{ z = x 2 + y 2 x = t y = t \begin{cases}z=x^2+y^2\\x=t\\y=t\end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧z=x2+y2x=ty=t

这时 x , y x,y x,y的变化就受到 { x = t y = t \begin{cases}x=t\\y=t\end{cases} {x=ty=t的约束：

我们来把这个参数方程决定的直线放入三维空间：

这条直线可以决定一根曲面上的曲线：

这个曲面上的曲线就是刚才说过的：
{ z = x 2 + y 2 x = t y = t \begin{cases}z=x^2+y^2\\x=t\\y=t\end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧z=x2+y2x=ty=t

2.2 参数方程可以拍扁三维图像

从另外一个角度来，参数方程可以把三维的图像拍扁，下面解释了这个过程，还是以 f ( x , y ) = x 2 + y 2 f(x,y)=x^2+y^2 f(x,y)=x2+y2这个二元函数：

增加参数方程约束：
{ z = x 2 + y 2 x = t y = t \begin{cases}z=x^2+y^2\\x=t\\y=t\end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧z=x2+y2x=ty=t

把 x , y x,y x,y代入到 z z z里面，可以得到 z = 2 t 2 z=2t^2 z=2t2：

这就好比把 x y z xyz xyz空间的立体图形拍扁到了 z t zt zt平面，这个特性在后面会使用，这里先进行介绍。

3 偏导数、方向导数、全导数

3.1 偏导数

偏导数指 x y xy xy平面中平行于 x x x轴或 y y y轴的直线所决定的曲线：

这条曲线的方程也可以写成参数方程（以平行于 x x x轴的曲线为例， a a a为常数）：
{ z = f ( x , y ) x = t y = a + 0 × t \begin{cases}z=f(x,y)\\x=t\\y=a+0\times t\end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧z=f(x,y)x=ty=a+0×t