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初遇拉普拉斯算子
有这样一个特殊的数学符号叫拉普拉斯算子（Laplace operator），在不少工程领域都有它的出现，其数学表达式写作 △ \triangle △ 或者 ▽ 2 \triangledown^2 ▽2。 还隐约记得我第一次接触这个玩意的时候，还是做流体的时候，好像是用来计算密度扩散的时候用到的。
当时还是11年，查很多资料介绍的也是稀里糊涂的，直到后来看到拉普拉斯算子的离散式表达形式后，才大概明白了它的涵义。后来毕业后两三年一直待在所里，跟着同事一起搞系统工程；即便后来跟朋友一起弄 嵌入式ＡＩ摄像头，但是这些复杂而艰深的数理知识因为工作原因基本没用到，所以基差不多忘了个光。
因为最近产生了重新回到学校，想继续当年没读的博士学位。然后重新翻看一些学术论文的时候，再次看到了这个拉普拉斯算子，恍惚回到了当年挑灯熬夜苦读的时候。
今天想把这些写下来，纯粹也是因为自己本来就较为愚钝，领悟比别人慢。更重要的是作为以后的备份，到时候如果相关知识点忘记的话，就可以随时回来查看这些知识点，做到查缺补漏之功效了。
梯度、散度
什么是梯度
开始这个话题之前，我想先引入梯度算子，写作 ▽ \triangledown ▽ 函数式写作 g r a d ( x ) grad(x) grad(x)，对于二维或者三维来说，就写作 g r a d ( x , y , z ) grad(x, y, z) grad(x,y,z)。你在教科书上能见到它的解析式表达形式，如果对于三维空间来说，就写作
g r a d ( x , y , z ) = ▽ f = ∂ f ∂ x i + ∂ f ∂ y j + ∂ f ∂ z k grad(x, y, z)=\triangledown f = \frac{\partial f}{\partial x} i + \frac{\partial f}{\partial y}j + \frac{\partial f}{\partial z}k grad(x,y,z)=▽f=∂x∂fi+∂y∂fj+∂z∂fk
其中 i i i j j j k k k表示在x, y, z轴上的向量分量，如果不太清楚这个表达形式的同学，可能需要翻看一下自己高中数学关于向量分量描述的相关章节了。
因为这个公式是个偏微分的表达形式，例如对于X轴上，用离散形式进行表达，就大概是这样的：
∂ f ∂ x ≈ f x , y , z ( x + Δ x o ) − f x , y , z ( x ) Δ x o \frac{\partial f}{\partial x} \approx \frac{f_{x,y,z}(x + \Delta x_o) - f_{x,y,z}(x)}{ \Delta x_o} ∂x∂f≈Δxofx,y,z(x+Δxo)−fx,y,z(x)
因此，对于Y轴，Z轴来说，就分别是这样的：
∂ f ∂ y ≈ f x , y , z ( y + Δ y o ) − f x , y , z ( y ) Δ y o \frac{\partial f}{\partial y} \approx \frac{f_{x,y,z}(y + \Delta y_o) - f_{x,y,z}(y)}{ \Delta y_o} ∂y∂f≈Δyofx,y,z(y+Δyo)−fx,y,z(y)
∂ f ∂ z ≈ f x , y , z ( x + Δ z o ) − f x , y , z ( z ) Δ z o \frac{\partial f}{\partial z} \approx \frac{f_{x,y,z}(x + \Delta z_o) - f_{x,y,z}(z)}{ \Delta z_o} ∂z∂f≈Δzofx,y,z(x+Δzo)−fx,y,z(z)
这里实际上你应该也看出来了，这实际上是斜率，使用约等于符号，是因为在数学的概念上，连续和离散是不完全一致的。所以，梯度，用大白话讲，就是某一点，在欧式几何空间中，分别在X轴上、Y轴上以及Z轴上的斜率。
失散多年的亲兄弟——散度？
而散度呢（divergence）？
你会发现它跟梯度算子很相似，写作 ▽ ⋅ F ⃗ \triangledown \cdot \vec{F} ▽⋅F 在很多书上它被简写成这样 ▽ ⋅ F \triangledown \cdot F ▽⋅F 区别在于多了一个点乘符号。
你或许会觉得梯度和散度长得很像，有区别吗？我个人理解其实区别并不大，因为散度的解析式也写成这样的形式：
d i v ( F ) = ▽ ⋅ F = ∂ F x ∂ x + ∂ F y ∂ y + ∂ F z ∂ z div(F) = \triangledown \cdot F = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z} div(F)=▽⋅F=∂x∂Fx+∂y∂Fy+∂z∂Fz
形式上两者是很相似的，尽管梯度写作：
g r a d ( x , y , z ) = ▽ f = ∂ f ∂ x i + ∂ f ∂ y j + ∂ f ∂ z k grad(x, y, z)=\triangledown f = \frac{\partial f}{\partial x} i + \frac{\partial f}{\partial y}j + \frac{\partial f}{\partial z}k grad(x,y,z)=▽f=∂x∂fi+∂y∂fj+∂z∂fk
但可以把梯度里的 f f f 和向量分量做一个映射，变成一个新的向量后，就可以得到这样一个表达式：
F ⃗ ( x , y , z ) = x i ⃗ + y j ⃗ + z k ⃗ \vec{F}(x,y,z)=x \vec i + y \vec j+z \vec k F (x,y,z)=xi +yj +zk
于是梯度就能转换为散度的表达形式：
▽ ⋅ F ⃗ = ∂ F i ∂ i + ∂ F j ∂ j + ∂ F k ∂ k \triangledown \cdot \vec F = \frac{\partial F_i}{\partial i} + \frac{\partial F_j}{\partial j} + \frac{\partial F_k}{\partial k} ▽⋅F =∂i∂Fi+∂j∂Fj+∂k∂Fk
所以，你可以看到，最大的区别，其实是在于梯度计算的是在xyz轴上的变化率，而散度计算的是向量在某个场的变化率。
举例来说，梯度就是研究类似山脊一侧坡度的斜率的变化。
而散度，则是把流速测试仪，放置到方向不确定的水流中，测试该点水流运动速度的变化。
拉普拉斯算子
在介绍完梯度和散度后，现在来介绍拉普拉斯算子：它写作 △ \triangle △ 或者 ▽ 2 \triangledown^2 ▽2 解析式写为：
▽ 2 = ∂ 2 ∂ x 2 + ∂ 2 ∂ y 2 + ∂ 2 ∂ z 2 \triangledown^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2} ▽2=∂x2∂2+∂y2∂2+∂z2∂2
它表示梯度或者散度的变化率，即变化率的变化率。如果举一个经典的变化率的变化率，那无疑就是经典力学的加速度公式
v t = v o + a t v_t = v_o + at vt=vo+at
使用拉普拉斯算子的重要物理意义，在于假设一个场分别在XYZ分量上的变化都是线性的，那么可以直接使用拉普拉斯算子，直接估测出距离测试点 P o P_o Po ( Δ X , Δ Y , Δ Z ) (\Delta X, \Delta Y, \Delta Z) (ΔX,ΔY,ΔZ)的某一点 P t P_t Pt 上的物理值，例如速度、密度、热量等。估算方式可以简单到如同求解加速度一样。