转载自知乎

https://zhuanlan.zhihu.com/p/34006925

 

假设我们有一个3 x 3的棋盘：

• 有一个单元格是超级玛丽，每回合可以往上、下、左、右四个方向移动
• 有一个单元格是宝藏，超级玛丽找到宝藏则游戏结束，目标是让超级玛丽以最快的速度找到宝藏
• 假设游戏开始时，宝藏的位置一定是(1, 2)

 

这个一个标准的马尔科夫决策过程(MDP)：

• 状态空间State：超级玛丽当前的坐标
• 决策空间Action: 上、下、左、右四个动作
• Action对State的影响和回报 P(State', Reward | State, Action)：本文认为该关系是已知的
• 超级玛丽每移动一步，reward = -1
• 超级玛丽得到宝箱，reward = 0并且游戏结束

利用策略迭代 (Policy Iteration) 求解马尔科夫决策过程

上一篇我们介绍了如何使用价值迭代 (Value Iteration) 来求解MDP，这篇介绍另外一种方法：策略迭代 (Policy Iteration)。

关于策略迭代，需要知道下面几点：

• 什么叫策略？策略就是根据当前状态决定该采取什么Action，  P(Action | State)
• 以本文超级玛丽寻找宝箱为例，超级玛丽需要不断朝着宝箱的方向前进
• 当前状态在宝箱左侧，策略应该是朝右走
• 当前状态在宝箱上方，策略应该是超下走
• 如何衡量策略的好坏 —— 策略评估 (Policy Evaluation)
• 还记得上一节定义的价值函数 (Value Function) 吗？给定一个策略，我们可以计算出每个状态的期望价值 V(s)
• 如何找到更好的策略 —— 策略迭代 (Policy Iteration)
• 初始化：随机选择一个策略作为初始值，比如说不管什么状态，一律朝下走，即P(Action = 朝下走 | State) = 1，P(Action = 其他Action | State) = 0
• 第一步 策略评估 (Policy Evaluation)：根据当前的策略计算V(s)
• 第二步 策略提升 (Policy Improvement)：计算当前状态的最好Action，更新策略， 
• 不停的重复策略评估和策略提升，直到策略不再变化为止

下面以寻找宝藏为例，说明策略迭代过程：

• 初始化：无论超级玛丽在哪个位置，策略默认为向下走
• 策略评估：计算V(s)
• 如果宝藏恰好在正下方，则期望价值等于到达宝藏的距离(-2或者-1）
• 如果宝藏不在正下方，则永远也不可能找到宝藏，期望价值为负无穷
• 策略提升：根据V(s)找到更好的策略
• 如果宝藏恰好在正下方，则策略已经最优，保持不变
• 如果宝藏不在正下方，根据  可以得出最优策略为横向移动一步
• 第一轮迭代：通过上一轮的策略提升，这一轮的策略变成了横向移动或者向下移动（如图所示)
• 策略评估：计算V(s)
• 如果宝藏恰好在正下方，则期望价值等于到达宝藏的距离(-2或者-1）
• 如果宝藏不在正下方，当前策略会选择横向移动，期望价值为-3, -2, -1
• 策略提升：根据V(s)找到更好的策略
• 如果宝藏恰好在正下方，则策略已经最优，保持不变
• 如果宝藏不在正下方，根据  可以得出当前策略已经最优，保持不变

源码实现

下面的代码实现了一个Agent，价值迭代在optimize函数中实现，完整可运行jupyter notebook欢迎访问我的Github: whitepaper/RL-Zoo

class Agent:
    def __init__(self, env):
        self.env = env

    def policy_evaluation(self, policy):
        V = np.zeros(self.env.nS)
        THETA = 0.0001
        delta = float("inf")
        
        while delta > THETA:
            delta = 0
            for s in range(self.env.nS):
                expected_value = 0
                for action, action_prob in enumerate(policy[s]):
                    for prob, next_state, reward, done in self.env.P[s][action]:
                        expected_value += action_prob * prob * (reward + DISCOUNT_FACTOR * V[next_state])
                delta = max(delta, np.abs(V[s] - expected_value))
                V[s] = expected_value
        
        return V
    
    def next_best_action(self, s, V):
        action_values = np.zeros(env.nA)
        for a in range(env.nA):
            for prob, next_state, reward, done in self.env.P[s][a]:
                action_values[a] += prob * (reward + DISCOUNT_FACTOR * V[next_state])
        return np.argmax(action_values), np.max(action_values)
    
    def optimize(self):
        policy = np.tile(np.eye(self.env.nA)[1], (self.env.nS, 1))
        
        is_stable = False
        
        round_num = 0
        
        while not is_stable:
            is_stable = True
            
            print("\nRound Number:" + str(round_num))
            round_num += 1
            
            print("Current Policy")
            print(np.reshape([env.get_action_name(entry) for entry in [np.argmax(policy[s]) for s in range(self.env.nS)]], self.env.shape))
            
            V = self.policy_evaluation(policy)
            print("Expected Value accoridng to Policy Evaluation")
            print(np.reshape(V, self.env.shape))
            
            for s in range(self.env.nS):
                action_by_policy = np.argmax(policy[s])
                best_action, best_action_value = self.next_best_action(s, V)
                # print("\nstate=" + str(s) + " action=" + str(best_action))
                policy[s] = np.eye(self.env.nA)[best_action]
                if action_by_policy != best_action:
                    is_stable = False
            
        policy = [np.argmax(policy[s]) for s in range(self.env.nS)]
        return policy

策略迭代的适用场景

使用策略迭代求解MDP问题时，需要满足一下条件（跟价值迭代的应用条件非常类似）：

• Action对State的影响和回报 P(State', Reward | State, Action)是已知的，然而绝大多数实际问题中P(State', Reward | State, Action)是未知的
• State和Action都是离散取值，无法应对Action或者State是连续取值的
• State和Action都是低维度离散取值，因为计算复杂度是随着维度的升高而迅速变大的—— O(|State| x |Action| x |State|)

价值迭代 v.s. 策略迭代

借用*的一张图，我们把价值迭代和策略迭代放在一起看：

把策略迭代和价值迭代放在一起，可以把Value Iteration看成是简化的Policy Iteration：

• 在Policy Iteration中
• 第一步 Policy Eval：一直迭代至收敛，获得准确的V(s)
• 第二步 Policy Improvement：根据准确的V(s)，求解最好的Action
• 对比之下，在Value Iteration中
• 第一步 "Policy Eval"：迭代只做一步，获得不太准确的V(s)
• 第二步 "Policy Improvement"：根据不太准确的V(s)，求解最好的Action

本质上，Policy Iteration和Value Iteration都属于Model-based方法，这种方法假设我们知道Action带来的Reward和新状态，即P(s', reward | s, a)。最明显的特点是，不用玩迷宫游戏，便能根据转移矩阵计算出最优策略。