Description

给定 \(n\) 条边的长度，任选三条边（组合），求能组成三角形的概率。

Solution

首先预处理出任选两条边（可以重复且不限顺序）每种长度和 \(i\) 对应的方案数 \(c[i]\)，这个很显然可以用 FFT 求出。

考虑如何修正为组合数，对于每条边 \(a_i\)，将 \(c[2a_i]\) 减去 \(1\)，即去除将这条边重复选两次的情况。尔后，对所有 \(c[i]\) 除以 \(2\)，即去除顺序。这样得到的 \(c[i]\) 就是选择两条不同的边，边长和为 \(i\) 的组合数。

现考虑枚举最长边来计算答案，假设当前最长边为 \(a_i\)，则对答案的贡献为

\[\sum_{j=a_i+1}^{\infty} c[i]-(i-1)(n-i)-\frac{(n-i)(n-i-1)}{2}-(n-1) \]

其中第二项为一大一小的方案数，第三项为两大的方案数，第四项为选重了该边的方案数。

#include<bits/stdc++.h>
#define N 262145
#define pi acos(-1)
using namespace std;

#define int long long 

namespace po {
typedef complex<double> E;
int n,m,L;
int R[N];
E a[N],b[N];

void fft(E *a,int f){
	for(int i=0;i<n;i++)if(i<R[i])swap(a[i],a[R[i]]);
	for(int i=1;i<n;i<<=1){
		E wn(cos(pi/i),f*sin(pi/i));
		for(int p=i<<1,j=0;j<n;j+=p){
			E w(1,0);
			for(int k=0;k<i;k++,w*=wn){
				E x=a[j+k],y=w*a[j+k+i];
				a[j+k]=x+y;a[j+k+i]=x-y;
			}
		}
	}
}

void mul(int _n,int *aa,int *bb,int *cc){
    n=_n;
    memset(a,0,sizeof a);
    memset(b,0,sizeof b);
    memset(R,0,sizeof R);
    L=0;
    m=n;
	for(int i=0,x;i<=n;i++)a[i]=aa[i];
	for(int i=0,x;i<=m;i++)b[i]=bb[i];
	m*=2;
	for(n=1;n<=m;n<<=1)L++;
	for(int i=0;i<n;i++)R[i]=(R[i>>1]>>1)|((i&1)<<(L-1));
	fft(a,1);fft(b,1);
	for(int i=0;i<=n;i++)a[i]=a[i]*b[i];
	fft(a,-1);
	memset(cc,0,sizeof cc);
	for(int i=0;i<=m;i++) cc[i]=(int)(a[i].real()/n+0.5);
}
}

using po::mul;

int n,a[N],b[N],c[N],d[N];

void solve()
{
    cin>>n;
    memset(a,0,sizeof a);
    memset(b,0,sizeof b);
    memset(c,0,sizeof c);
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
    for(int i=1;i<=n;i++) b[a[i]]++;
    int m=*max_element(a+1,a+n+1);
    mul(m+1,b,b,c);
    m=(m+1)*2;
    for(int i=1;i<=n;i++) c[2*a[i]]--;
    for(int i=0;i<=m;i++) c[i]/=2;
    for(int i=m;i>=0;--i) c[i]+=c[i+1];
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        ans+=c[a[i]+1];
        ans-=(i-1)*(n-i);
        ans-=(n-i)*(n-i-1)/2;
        ans-=n-1;
    }
    printf("%.7lf\n",1.0*ans/n/(n-1)/(n-2)*6);
}

signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);

    int t;
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        solve();
    }

    return 0;
}

/*
2 
4 
1 3 3 4 
4 
2 3 3 4
*/