计算机图形学 opengl版本 第三版------胡事民 第四章  图形学中的向量工具

一   基础

1：向量分析和变换   两个工具  可以设计出各种几何对象

　　点和向量基于坐标系定义

　　拇指指向z轴正方向    从x轴的正向握向y轴的正向，  可以分为左手和右手坐标系。

　　点A到点B的位移称为向量v       则v=B-A     尾-头

　　一个n维向量是一个n元组      w=(w1,w2,w3,...)

　　用矩阵来表示向量  更加方便清晰

2：向量的基本运算法则

　　向量a b      标量s （实数）            a=(a1,a2,a3)   (向量的坐标表示)        b=(b1,b2,b3)

　　加法:a+b=   (a1+b1,a2+b2,a3+b3)　　

　　乘法：s(a)=(s*a1,s*a2,s*a3)

　　有些系统中  标量s表示复数   这里不讨论

3.   向量的线性组合

　　m个向量v1，v2，v3...vm

　　　　　　向量w=a1v1+a2v2+a3v3+...am+vm

　　其中am为标量

　　特殊的线性组合：仿射组合       凸组合

　　向量的仿射组合：标量系数的和为1     且仅和标量有关

　　　　　　　　　　a1+a2+a3+...+am=1

　　　　两个向量a和b的仿射组合形式

　　　　　　　　(1-t)a+(t)b

　　向量的凸组合：标量的和为1    且   各个标量>=0

4.向量的度量和单位向量

　　w为向量

　　|w|=根号下（w1^2+w2^2+w3^2+....+wn^2）      勾股定理    模为头尾两点的距离

　　有时需要缩放向量   使向量的长度为一，这一过程被叫做向量的归一化     归一化的结果为单位向量

　　为了得到a的归一化向量   我们可以用1/|a|数乘a

　　a的单位向量=a/|a|     其中|a|!=0

　　例如：a=(3,-4)     那么|a|=5     归一化的结果为a^=(3/5,-4/5)      有时我们也吧单位向量看成方向。　　　

　　任何一个向量都可以写成：a=|a|a^        向量的模乘方向

二.点积

1.两个工具   点积   和叉积

　　点积得到一个标量，用于二维向量

　　叉积得到一个向量   用于三维向量

　　a.b=a1b1+a2b2

　　定义：

　　n维向量v=（v1,v2,v3...vn）         w=（w1，w2,w3...wn）

　　　　点积d表示为v.w=v1.w1+v2.w2+...vn.wn

　　性质：对称性（交换）：a.b=b.a

　　　　　线性：（a+c）.b=a.b+c.b

　　　　   同质性：（s.a）.b=s(a.b)

　　　　   |b|.|b|=b.b

2.两向量的夹角：

　　

　　b=(|b|cos∠b，|b|sin∠b)

　　c=(|c|cos∠c，|c|sin∠c)

　　b.c=|b|.|c|.cos∠c.cos∠b+|b|.|c|.sin∠c.sin∠b

　　b.c=|b|.|c|.cos∠boc

　上式两边同时除以|b||c|

　　cos(∠boc)=b^.c^           两个向量b和c之间的夹角的余弦等于归一化后向量的点积

3.b.c的符号和正交性

　　b.c>0      角度小余90度

　　b.c=0　　角度等于90度　　　　　　此时b垂直于c    则称向量b和向量c是正交的。

　　b.c<0　　角度大于90度

　　正交也叫直交或者垂直

　　三维形式常用  叫做标准单位向量,分别称为 i         j         k

　　定义：三维空间的标准单位向量有如下分量的向量

　　i=(1,0,0)      j=(0,1,0)     k=(0,0,1)    也可以写成矩阵的形式

　　

　　任意一个三维向量如（a,b,c）都可以写成另一种形式

　　　　(a,b,c)=ai+bj+ck

4.二维正交向量

　　a=(ax,ay)的正交向量为b(-ay,ax)       导致a.b=0    两个向量垂直   ⊥

　　与a向量的正交向量有无穷多个     任何一个数成b的结果都是与a正交的

　　定义：给定a=(ax,ay)    则a^⊥ =（-ay,ax）    与a逆时针正交

　　a像左转90度a^⊥      a想右转90度为-a^⊥

　　a^⊥ 的一些有趣的属性

　　　　 1.线性 （ a+b）^⊥ =a^⊥ +b^⊥    对任意标量A    有（Aa）^⊥ =Aa^⊥

　　　　2.a^⊥⊥ =（a^⊥ ）^⊥ =  - a

　　　　3.   正交点积  a^⊥ .b=axby-aybx         其中a=（ax,ay）

　　　　　　a^⊥ .a=0　　　　　　　　

　　　　　　|a^⊥ |^2=|a|^2 　　 两正交向量具有相同的长度

　　　　　　a^⊥ .b=-b^⊥ .a      　反对称性      例如（0,1）   和（-1,0）   为反对称性

　　　　 4.

　　　　　  行列式

　　　　　　

　　　　　　

　　　　　　上面的两个证明  将坐标带入后化简即可得到

　　　　5.正交投影和点到直线的距离

　　　　图形学中常出现的问题

　　　　　　a　　将一个向量投影到另一个向量上

　　　　　　b　　将一个向量分解成不同方向上的分量

　　　　　　c　　找到一点到另一条直线的距离

　　　　

　　　　k和m是待定的常数     c=kv+mv^⊥

　　　　我们说从c到v的正交投影是kv并且点c到直线的距离是|mv^⊥|　

　　　　求出k和m 的方法：等式两边同时乘以一个v

　　　　　　c.v=kv.v+v.mv^⊥

　　　　k=c.v/v.v

　　　　两边同时乘以   v^⊥

　　　　m=c.v^⊥/v^⊥.v^⊥

　　　　

　　　　距离=m .v^⊥

　　　　

　　　　也等于                                           

　　例题：4.3.5

　　将向量c(6,4)到v=（1,2）的正交投影  并画出相关的向量

　　用4.20的公式：（14/5,28/5）

　　例题：4.3.6

　　求点c=(6,4)到过点（1,1）和（4,9）的直线的距离

　　

6.投影的应用：反射

　　　　

　　　　入射角等于出射角