在A*寻路中使用二叉堆
作者：Patrick Lester（2003年4月11日更新）
译者：Panic 2005年3月28日
译者序
这一篇文章，是“A* Pathfinding for Beginners.”，也就是我翻译的另一篇文章《A*寻路初探》的补充，在这篇文章里，作者再一次展现了他阐述复杂话题的非凡能力，用通俗易懂的语句清晰的解释了容易让人迷惑的问题。还是那句话，如果你看了这篇文章仍然无法领会作者的意图，那只能怪我的翻译太蹩脚了。请参考原文做进一步的理解。
这里讲解的二叉堆，其实是以堆的形式存在的二叉树，这个特殊的结构把A*算法对开启列表的排序需求演绎的出神入化，毫无疑问是A*的最佳拍档。
最后，希望这篇文章对你有所帮助。
英文链接
http://www.policyalmanac.org/games/binaryHeaps.htm
正文翻译
这篇文章是我的主题文章“A* Pathfinding for Beginners.”的补充。在读这篇文章之前，你应该先读那一篇文章，或者对A*做透彻的理解。
A*算法中最缓慢的部分就是在开启列表中寻找F值最低的节点或者方格。取决于地图的大小，你可能有十几，成百甚至上千的节点需要在某个时候使用A*搜索。无需多讲，反复搜索这么大的列表会严重拖慢整个过程。然而，这些时间在极大程度上受你存储列表的方式影响。
有序和无序的开启列表：简单的方法
最简单的方法就是顺序存储每个节点，然后每次需要提取最低耗费元素的时候都遍历整个列表。这提供可快速的插入速度，但是移除速度可能是最慢的，因为你需要检查每个元素才能够确定哪个才是F值最低的。
通常你可以保持你列表处于有序状态来提升效率。这花费了稍微多一点的预处理时间，因为你每次插入新元素都必须把他们放在恰当的位置。不过移除元素倒是很快。你只要移除第一个元素就可以了，它一定是F值最低的。
有很多方法可以保持你的数据有序（选择排序，冒泡排序，快速排序，等等）并且你可以用你最熟悉的搜索引擎找到这方面的文章。不过我们至少可以先提几种想法。最简单的方法可能是，当你需要添加新元素的时候，从列表开始的地方，依次比较每个元素的F值和要插入的F值的大小。一旦找到一个相等或者更高的F值，你就可以把新元素插入到列表中那个元素的前面。取决于你使用的计算机于亚，使用class或者struct实现的链表可能是不错的方法。
这种方法可以通过保持列表中所有元素的平均值来得到改进，使用这个平均值来决定是从头（如上所说）还是从尾开始处理。总的说来，比平均F值低的新元素将被从头开始处理，而比平均F值高的则从末尾开始。这种方法可以节省一半的时间。
复杂一些，但是更快的方法是把这一想法提高到新的层次使用快速排序，它基本上是从比较新元素和列表中间元素的F值开始。如果新元素的F值低，你接着把它和1/4处元素进行比较，如果还是更低你就比较它和1/8处的元素，如此这般，不断的折半你的列表并且比较，直到找到合适的位置。这个描述很简单，你可能会想到网上寻找快速排序的更多资料。这比至此描述的任何方法都快。
二叉堆
二叉堆和刚才说的快速排序很像，经常被那些苛求A*速度的人使用。根据我的经验，二叉堆平均提高寻路速度2-3倍，对于包含大量节点的地图(也就是说100×100节点或者更多）效果更明显。友情提醒，然而二叉堆很难处理，除非你使用含有大量节点的地图，速度至关重要，否则不值得为它头痛。
文章其他的部分深入说明了二叉堆和它在A*算法中的用途。如果你对我的文章存有疑惑，在文章末尾进一步阅读的小节中提供了更多的观点。
仍然有兴趣？好，我们继续。。。
在有序列表中，每个元素都按照由低到高或由高到低的顺序保存在恰当的位置。这很有用，但是还不够。事实上，我们并不关心数字127是否比128在更低的位置上。我们只是想让F值最低的元素能放在列表顶端以便容易访问。列表的其他部分即使是混乱的也不必在意。列表的其他部分只有在我们需要另一个F值最低的元素的时候，才有必要保持有序。
基本上，我们真正需要的是一个“堆”，确切的说，是个二叉堆。二叉堆是一组元素，其中最大或者最小（取决于需要）的元素在堆顶端。既然我们要寻找F值最小的元素，我们就把它放在堆顶端。这个元素有两个子节点，每个的F值等于，或者略高于这个元素。每个子节点又有两个子节点，他们又有和他们相等或略高的子节点。。。依次类推。这里是一个堆可能的样子：
注意，F值最低的元素(10)在最顶端，第二低的元素(20)是它的一个子节点。可是，其后就没有任何疑问了。在这个特定的二叉堆里，第三低的元素是24，它离堆顶有两步的距离，它比30小，但是30却在左侧离堆顶一步之遥的地方。简单的堆放，其他的元素在堆的哪个位置并不重要，每个单独的元素只需要和它的父节点相等或者更高，而和它的两个子节点相比，更低或者相等，这就可以了。这些条件在这里都完全符合，所以这是个有效的二叉堆。
很好，你可能会想，这的确有趣，但是如何把它付诸实施呢？嗯，关于二叉堆的一个有趣的事实是，你可以简单的把它存储在一个一维数组中。
在这个数组中，堆顶端的元素应该是数组的第一个元素(是下标1而不是0)。两个子节点会在2和3的位置。这两个节点的4个子节点应该在4－7的位置。
总的来说，任何元素的两个子节点可以通过把当前元素的位置乘以2（得到第一个子节点）和乘2加1（得到第二个子节点）来得到。就这样，例如堆中第三个元素（数值是20）的两个子节点，可以在位置2*3 = 6和2*3 +1 = 7这两个位置找到。那两个位置上的数字非别是30和24，当你查看堆的时候就能理解。
你其实不必要知道这些，除了表明堆中没有断层之外知道这些没有任何价值。7个元素，就完整的填满了一个三层堆的每一层。然而这并不是必要的。为了让我们的堆有效，我们只需要填充最底层之上的每一行。最底层自身可以是任意数值的元素，同时，新的元素按照从左到右的顺序添加。这篇文章描述的方法就是这样做的，所以你不必多虑。
往堆中添加新元素
当我们实际在寻路算法中使用二叉堆的时候，还需要考虑更多，但是现在我们只是学习一下如何使用二叉堆。我跳过这部分以便更容易理解基本的东西。我会在文章后面的部分给出处理这一切的完整公式，但了解这些细节仍然十分重要。
大致的，为了往堆里添加元素，我们把它放在数组的末尾。然后和它在 当前位置/2 处的父节点比较，分数部分被圆整。如果新元素的F值更低，我们就交换这两个元素。然后我们比较这个元素和它的新父节点，在 （当前位置）/2 ，小数部分圆整，的地方。如果它的F值更低，我们再次交换。我们重复这个过程直到这个元素不再比它的父节点低，或者这个元素已经到达顶端，处于数组的位置1。
我们来看如何把一个F值为17的元素添加到已经存在的堆中。我们的堆里现在有7个元素，新元素将被添加到第8个位置。这就是堆看起来的样子，新元素被加了下划线。
10 30 20 34 38 30 24 17
接下来我们比较它和它的父节点，在 8/2 也就是 4的位置上。位置4当前元素的F值是34。既然17比34低，我们交换两元素的位置。现在我们的堆看起来是这样的:
10 30 20 17 38 30 24 34
然后我们把它和新的父节点比较。因为我们在位置4，我们就把它和 4/2 = 2 这个位置上的元素比较。那个元素的F值是30。因为17比30低，我们再次交换，现在堆看起来是这样的：
10 17 20 30 38 30 24 34
接着我们比较它和新的父节点。现在我们在第二个位置，我们把它和 2/2 = 1，也就是堆顶端的比较。这次，17不比10更低，我们停止，堆保持成现在的样子。
从堆中删除元素
从堆中删除元素是个类似的过程，但是差不多是反过来的。首先，我们删除位置1的元素，现在它空了。然后，我们取堆的最后一个元素，移动到位置1。在堆中，这是结束的条件。以前的末元素被加了下划线。
34 17 20 30 38 30 24
然后我们比较它和两个子节点，它们分别在位置(当前位置*2)和(当前位置* 2 + 1)。如果它比两个子节点的F值都低，就保持原位。反之，就把它和较低的子节点交换。那么，在这里，该元素的两个子节点的位置在 1 * 2 = 2和 1*2 + 1 = 3。显然，34不比任何一个子节点低，所以我们把它和较低的子节点，也就是17，交换。结果看起来是这样：
17 34 20 30 38 30 24
接着我们把它和新的子节点比较，它们在 2*2 = 4，和2*2 + 1 = 5的位置上。它不比任何一个子节点低，所以我们把它和较低的一个子节点交换（位置4上的30）。现在是这样：
17 30 20 34 38 30 24
最后一次，我们比较它和新的子节点。照例，子节点在位置 4*2 = 8和4*2+1 = 9的位置上。但是那些位置上并没有元素，因为列表没那么长。我们已经到达了堆的底端，所以我们停下来。
二叉堆为什么这么快？
现在你知道了堆基本的插入和删除方法，你应该明白为什么它比其他方法，比如说插入排序更快。假设你有个有1000个节点的开启列表，在一格有很多节点的相当大的地图上，这不是不可能（记住，即使是100×100的地图，上面也有10,000个节点）。如果你使用插入排序，从起点开始，到找到新元素恰当的位置，在把新元素插入之前，平均需要做500次比较。
使用二叉堆，你从底端开始，可能只要1－3次比较就能把新元素插入到正确的位置。你还需要9次比较用来从开启列表中移除一个元素，同时保持堆仍然有序。在A*中，你通常每次只需要移除一个元素(F值最低的元素)，在任意位置添加0到5个新节点(就像主文章里描述的2D寻路)。这总共花费的时间大约是同样数量节点进行插入排序的1%。差别随你地图的增大(也就是节点更多)呈几何增长。地图越小，就越没优势，这也是为什么你的地图和节点越少，二叉堆的价值就越低的原因。
顺便，使用二叉堆并不意味着你的寻路算法会快100倍。在下面还讲了一些棘手的问题。额外的，A*不仅仅是为开启列表排序。然而，根据我的经验，用二叉堆在大部分场合可以提高2－3倍的速度，更长的路径，速度提高的更多。
创建开启列表数组
现在我们了解了二叉堆，那么如何使用它呢？首先要做的是构造我们的一维数组。为此，我们先要确定它的大小。一般来说，列表大小不会超过地图上的节点总数（在最坏的情况下，我们搜索整个地图寻找路径）。在一个方形二维地图中，就如我的主文章中描述的，我们的节点不超过 地图宽 × 地图高。那么我们的一维数组就是那个大小。在这个例子里，我们叫这个数组 openList()。堆最顶端的元素被存储在openList(1)，第二个元素在openList(2)，依此类推。
使用指针
现在我们有了正确大小的数组，几乎可以开始用来寻路了。不过，在进一步的添加或者删除操作之前，我们再看看原始的堆。
现在，它只是个F值的列表，而且已经被正确安排。但是我们忽略了一个重要的元素。是的，我们有一系列的F值按顺序保存在堆里，但是我们没有他们代表哪一格的任何线索。基本上，我们只是知道10是堆中最低的F值。但那指的是那个格子？
为了解决这个问题，我们必须改变数组中元素的值。我们不储存排序好的F值，取而代之的是保存关联到地图网格的唯一标志。我的方法是为每个新加入堆的元素创建一个唯一ID叫做squaresChecked。每次往开启列表中添加新元素，我们给squaresChecked增加1，并把它作为列表中新元素的唯一ID。第一个添加进列表的是#1，第二个是#2，依此类推。
最后，我们把具体的F值存储在单独的一维数组中，我把它叫做 Dcost()。和开启列表相同，我们把它的大小定为(地图宽 x 地图高)。我们同时存储节点的x和y坐标在类似的一维数组中，叫做 openX() 和 openY()。看起来就像下面的图：
尽管这看起来有点复杂，但它和前面讲的堆是相同的。只是储存的信息更多了。
#5元素，有最低的F值10，仍然在堆顶，在一维数组的第一列。不过现在我们在堆里存储它的唯一ID 5，而不是它的F值。换句话说，openList(1) = 5。这个唯一数值用来查找元素的F值，以及地图x和y坐标。这个元素的F值是Fcost(5) = 10，x坐标是openX(5) = 12，y坐标是openY(5) = 22。
顶端的元素有两个子节点，数值是2和6，他们的F值是30和20，分别存储在opneList()中2和3的位置，等等。基本上，我们的堆和以前相同，只是多了一些关于元素在地图上的位置，F值是多少，等等的信息。
在堆中添加新元素(第二部分）
好，我们实际的把这种技术用在A*寻路的开启列表排序中。我们使用的技术和先前描述的大体相同。
我们添加到开启列表中的第一个元素，一般是起始节点，被分配了一个数值是1的唯一ID，然后放入开启列表的#1位置。也就是 openList(1) = 1.我们还跟踪开启列表中元素的数量，现在也是1。我们把它保存在名为numberOfOpenListItems的变量里。
当我们往开启列表中添加新元素的时候，首先我们计算G，H和F值，就如在主文章中所述。然后按照前面讲的方法把他们添加进开启列表。
首先我们给新元素分配一格唯一 ID号，也就是squaresChecked变量的用途。每次我们添加一个新节点，就给这个变量加1，然后把它的数值分配给新节点。然后给numberOfOpenListItems加1。然后把它添加到开启列表的底部，所有这些可以翻译成：
squaresChecked = squaresChecked +1
numberOfOpenListItems = numberOfOpenListItems+1
openList(numberOfOpenListItems) = squaresChecked
然后我们依次把它和父节点比较直到它到达正确的位置。这是这些操作的代码：
m = numberOfOpenListItems
While m <> 1 ;While item hasn't bubbled to the top (m=1)
;Check if child is <= parent. If so, swap them.
If Fcost(openList(m)) <= Fcost(openList(m/2)) Then
temp = openList(m/2)
openList(m/2) = openList(m)
openList(m) = temp
m = m/2
Else
Exit ;exit the while/wend loop
End If
Wend
二. 从堆中删除元素
无疑，我们不能只建立堆，当不需要的时候，我们也要从堆中删除元素。特别的，在A*寻路中，我们在检查和切换到关闭列表之后，从堆顶需要删除F值最低的元素。
如前所述，你从把末元素移动到堆顶开始，然后把堆中的元素总数减1。伪代码是这样：
openList(1) = openList(numberOfOpenListItems)
numberOfOpenListItems = numberOfOpenListItems - 1
接着我们需要依次比较它和两个子节点的数值。如果它的F值更高，我们就把它和更低F值的子节点交换。然后我们把它和新的子节点比较（看它是否更低）。如果它的F值比两个子节点更高，我们把它和较低的一个交换。我们重复这个过程直到找到它的正确位置，这可能会一直持续到堆底，但并不是完全必要。
伪代码
伪代码看起来是这样：
v = 1 ;Repeat he following until the item sinks to its proper spot in the binary heap.
Repeat
u = v
If 2*u+1 <= numberOfOpenListItems ;if both children exist
;Select the lowest of the two children.
If Fcost(openList(u)) >= Fcost(openList(2*u))then v = 2*u ;SEE NOTE BELOW
If Fcost(openList(v)) >= Fcost(openList(2*u+1))then v = 2*u+1 ;SEE NOTE BELOW
Else If 2*u <= numberOfOpenListItems ;if only child #1 exists
;Check if the F cost is greater than the child
If Fcost(openList(u)) >= Fcost(openList(2*u))then v = 2*u
End If
If u <> v then ; If parent's F > one or both of its children, swap them
temp = openList(u)
openList(u) = openList(v)
openList(v) = temp
Else
Exit ;if item <= both children, exit repeat/forever loop
End if
Forever ;Repeat forever
伪代码解释
请注意两行代码中粗体(红色)的u和v的数值。在第二行，你应该使用 v而不是u，这不是很显而易见。这确保了你把它和较低的子节点交换。如果做错会造成不完整的堆，完全打乱你的寻路。
对开启列表的元素重排序
就如在主文章中描述的，有时候你会发现现有的开启列表中的元素会改变。这种情况发生的时候，我们不必要取出这个元素重新来过。只要从当前位置开始，用它新的（更低的）F值和它的父节点比较。如果它的F值低到足以替换它的父节点，你就把它替换掉（不然你就会得到一个错误的堆，一切都完了）。一般，你使用和“在堆中添加新元素”的小节中相同的代码，并做额外处理如下：
不幸的是，因为你的数据是在一个庞大，无序的堆里，你需要遍历整个堆查找先有开启列表中的元素。你主要要查找由openX(openList()) 和openY(openList())获取的确切坐标的格子，找到之后，你就可以从那一点开始，像往常那样做必要的比较和交换。
最后的注解
好了，我希望你仍然能读懂，没有被搞昏头。如果你不着急，并且希望在自己的寻路算法中使用二叉堆，那么这就是我的建议。
首先，把二叉堆放一放。把注意力放在你的A*寻路算法上，使用简单点的排序算法，保证算法正常工作没有bug。一开始你并不需要它很快速，你只需要它能工作。
其次，在你把二叉堆添加到代码中之前，试着把二叉堆写成独立的功能，用适当的方法添加和删除元素。确保你写的程序中，可以看到整个过程中每一步的操作，也许可以把结果打印在屏幕上，如果你愿意。你还得包含一些中途退出的代码，以便在必要的时候结束整个流程。如果二叉堆写的不对，你很容易就会陷入到无限循环中。
一旦你确信两个程序都运行无误，备份他们，然后开始把他们结合起来。除非你比我还聪明，否则一开始你难免遇到麻烦。输出都是些错误信息 并且/或者 看到寻路者因为bug走出各种怪异的方向。不过最终你会搞定一切。
进一步阅读
和以往一样，网上有很多其他的关于这个话题的好文章。这里有些入门的。第一篇用图示。第二篇说明了怎么用一个简单的数组（如果我的说明很麻烦的话）实现二叉堆。第三篇探讨了寻路算法中堆的一般用途。
* http://www.onthenet.com.au/~grahamis/int2008/week11/lect11.html
* http://www.purists.org/pqueue/
* http://theory.stanford.edu/~amitp/GameProgramming/ImplementationNotes.html#S5
最后，你可能想看看我的寻路代码，这里可以找到。它和文中的伪代码相互照应，注释详尽，有C++和Blitz两个版本，Blitz是一个比其他大多数都容易理解的语言。不使用C++的程序员会很容易理解Basic版本的代码。
好，就这么多。欢迎对这个（公认）复杂的话题提出看法，可以这样联系我：
现在，照例，祝你好运。