概要
本章介绍二叉堆，二叉堆就是通常我们所说的数据结构中"堆"中的一种。和以往一样，本文会先对二叉堆的理论知识进行简单介绍，然后给出C语言的实现。后续再分别给出C++和Java版本的实现；实现的语言虽不同，但是原理如出一辙，选择其中之一进行了解即可。若文章有错误或不足的地方，请不吝指出！
目录
1. 堆和二叉堆的介绍
2. 二叉堆的图文解析
3. 二叉堆的C实现(完整源码)
4. 二叉堆的C测试程序
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更多内容：数据结构与算法系列 目录
(01) 二叉堆(一)之 图文解析 和 C语言的实现
(02) 二叉堆(二)之 C++的实现
(03) 二叉堆(三)之 Java的实
堆和二叉堆的介绍
堆的定义
堆(heap)，这里所说的堆是数据结构中的堆，而不是内存模型中的堆。堆通常是一个可以被看做一棵树，它满足下列性质：
[性质一] 堆中任意节点的值总是不大于(不小于)其子节点的值；
[性质二] 堆总是一棵完全树。
将任意节点不大于其子节点的堆叫做最小堆或小根堆，而将任意节点不小于其子节点的堆叫做最大堆或大根堆。常见的堆有二叉堆、左倾堆、斜堆、二项堆、斐波那契堆等等。
二叉堆的定义
二叉堆是完全二元树或者是近似完全二元树，它分为两种：最大堆和最小堆。
最大堆：父结点的键值总是大于或等于任何一个子节点的键值；最小堆：父结点的键值总是小于或等于任何一个子节点的键值。示意图如下：
二叉堆一般都通过"数组"来实现。数组实现的二叉堆，父节点和子节点的位置存在一定的关系。有时候，我们将"二叉堆的第一个元素"放在数组索引0的位置，有时候放在1的位置。当然，它们的本质一样(都是二叉堆)，只是实现上稍微有一丁点区别。
假设"第一个元素"在数组中的索引为 0 的话，则父节点和子节点的位置关系如下：
(01) 索引为i的左孩子的索引是 (2*i+1);
(02) 索引为i的左孩子的索引是 (2*i+2);
(03) 索引为i的父结点的索引是 floor((i-1)/2);
假设"第一个元素"在数组中的索引为 1 的话，则父节点和子节点的位置关系如下：
(01) 索引为i的左孩子的索引是 (2*i);
(02) 索引为i的左孩子的索引是 (2*i+1);
(03) 索引为i的父结点的索引是 floor(i/2);
注意：本文二叉堆的实现统统都是采用"二叉堆第一个元素在数组索引为0"的方式！
二叉堆的图文解析
在前面，我们已经了解到："最大堆"和"最小堆"是对称关系。这也意味着，了解其中之一即可。本节的图文解析是以"最大堆"来进行介绍的。
二叉堆的核心是"添加节点"和"删除节点"，理解这两个算法，二叉堆也就基本掌握了。下面对它们进行介绍。
1. 添加
假设在最大堆[90,80,70,60,40,30,20,10,50]种添加85，需要执行的步骤如下：
如上图所示，当向最大堆中添加数据时：先将数据加入到最大堆的最后，然后尽可能把这个元素往上挪，直到挪不动为止！
将85添加到[90,80,70,60,40,30,20,10,50]中后，最大堆变成了[90,85,70,60,80,30,20,10,50,40]。
最大堆的插入代码(C语言)
/*
* 最大堆的向上调整算法(从start开始向上直到0，调整堆)
*
* 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。
*
* 参数说明：
* start -- 被上调节点的起始位置(一般为数组中最后一个元素的索引)
*/
static void maxheap_filterup(int start)
{
int c = start; // 当前节点(current)的位置
int p = (c-)/; // 父(parent)结点的位置
int tmp = m_heap[c]; // 当前节点(current)的大小 while(c > )
{
if(m_heap[p] >= tmp)
break;
else
{
m_heap[c] = m_heap[p];
c = p;
p = (p-)/;
}
}
m_heap[c] = tmp;
} /*
* 将data插入到二叉堆中
*
* 返回值：
* 0，表示成功
* -1，表示失败
*/
int maxheap_insert(int data)
{
// 如果"堆"已满，则返回
if(m_size == m_capacity)
return -; m_heap[m_size] = data; // 将"数组"插在表尾
maxheap_filterup(m_size); // 向上调整堆
m_size++; // 堆的实际容量+1 return ;
}
maxheap_insert(data)的作用：将数据data添加到最大堆中。
当堆已满的时候，添加失败；否则data添加到最大堆的末尾。然后通过上调算法重新调整数组，使之重新成为最大堆。
2. 删除
假设从最大堆[90,85,70,60,80,30,20,10,50,40]中删除90，需要执行的步骤如下：
从[90,85,70,60,80,30,20,10,50,40]删除90之后，最大堆变成了[85,80,70,60,40,30,20,10,50]。
如上图所示，当从最大堆中删除数据时：先删除该数据，然后用最大堆中最后一个的元素插入这个空位；接着，把这个“空位”尽量往上挪，直到剩余的数据变成一个最大堆。
注意：考虑从最大堆[90,85,70,60,80,30,20,10,50,40]中删除60，执行的步骤不能单纯的用它的子节点来替换；而必须考虑到"替换后的树仍然要是最大堆"！
最大堆的删除代码(C语言)
/*
* 返回data在二叉堆中的索引
*
* 返回值：
* 存在 -- 返回data在数组中的索引
* 不存在 -- -1
*/
int get_index(int data)
{
int i=; for(i=; i<m_size; i++)
if (data==m_heap[i])
return i; return -;
} /*
* 最大堆的向下调整算法
*
* 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。
*
* 参数说明：
* start -- 被下调节点的起始位置(一般为0，表示从第1个开始)
* end -- 截至范围(一般为数组中最后一个元素的索引)
*/
static void maxheap_filterdown(int start, int end)
{
int c = start; // 当前(current)节点的位置
int l = *c + ; // 左(left)孩子的位置
int tmp = m_heap[c]; // 当前(current)节点的大小 while(l <= end)
{
// "l"是左孩子，"l+1"是右孩子
if(l < end && m_heap[l] < m_heap[l+])
l++; // 左右两孩子中选择较大者，即m_heap[l+1]
if(tmp >= m_heap[l])
break; //调整结束
else
{
m_heap[c] = m_heap[l];
c = l;
l = *l + ;
}
}
m_heap[c] = tmp;
} /*
* 删除最大堆中的data
*
* 返回值：
* 0，成功
* -1，失败
*/
int maxheap_remove(int data)
{
int index;
// 如果"堆"已空，则返回-1
if(m_size == 0)
return -; // 获取data在数组中的索引
index = get_index(data);
if (index==-)
return -; m_heap[index] = m_heap[--m_size]; // 用最后元素填补
maxheap_filterdown(index, m_size-); // 从index位置开始自上向下调整为最大堆 return ;
}
maxheap_remove(data)的作用：从最大堆中删除数据data。
当堆已经为空的时候，删除失败；否则查处data在最大堆数组中的位置。找到之后，先用最后的元素来替换被删除元素；然后通过下调算法重新调整数组，使之重新成为最大堆。
该"示例的完整代码"以及"最小堆的相关代码"，请参考下面的二叉堆的实现。
二叉堆的C实现(完整源码)
二叉堆的实现同时包含了"最大堆"和"最小堆"，它们是对称关系；理解一个，另一个就非常容易懂了。
二叉堆(最大堆)的实现文件(max_heap.c)
/**
* 二叉堆(最大堆)
*
* @author skywang
* @date 2014/03/07
*/ #include <stdio.h>
#include <stdlib.h> #define LENGTH(a) ( (sizeof(a)) / (sizeof(a[0])) ) static int m_heap[]; // 数据
static int m_capacity=; // 总的容量
static int m_size=; // 实际容量(初始化为0) /*
* 返回data在二叉堆中的索引
*
* 返回值：
* 存在 -- 返回data在数组中的索引
* 不存在 -- -1
*/
int get_index(int data)
{
int i=; for(i=; i<m_size; i++)
if (data==m_heap[i])
return i; return -;
} /*
* 最大堆的向下调整算法
*
* 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。
*
* 参数说明：
* start -- 被下调节点的起始位置(一般为0，表示从第1个开始)
* end -- 截至范围(一般为数组中最后一个元素的索引)
*/
static void maxheap_filterdown(int start, int end)
{
int c = start; // 当前(current)节点的位置
int l = *c + ; // 左(left)孩子的位置
int tmp = m_heap[c]; // 当前(current)节点的大小 while(l <= end)
{
// "l"是左孩子，"l+1"是右孩子
if(l < end && m_heap[l] < m_heap[l+])
l++; // 左右两孩子中选择较大者，即m_heap[l+1]
if(tmp >= m_heap[l])
break; //调整结束
else
{
m_heap[c] = m_heap[l];
c = l;
l = *l + ;
}
}
m_heap[c] = tmp;
} /*
* 删除最大堆中的data
*
* 返回值：
* 0，成功
* -1，失败
*/
int maxheap_remove(int data)
{
int index;
// 如果"堆"已空，则返回-1
if(m_size == )
return -; // 获取data在数组中的索引
index = get_index(data);
if (index==-)
return -; m_heap[index] = m_heap[--m_size]; // 用最后元素填补
maxheap_filterdown(index, m_size-); // 从index位置开始自上向下调整为最大堆 return ;
} /*
* 最大堆的向上调整算法(从start开始向上直到0，调整堆)
*
* 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。
*
* 参数说明：
* start -- 被上调节点的起始位置(一般为数组中最后一个元素的索引)
*/
static void maxheap_filterup(int start)
{
int c = start; // 当前节点(current)的位置
int p = (c-)/; // 父(parent)结点的位置
int tmp = m_heap[c]; // 当前节点(current)的大小 while(c > )
{
if(m_heap[p] >= tmp)
break;
else
{
m_heap[c] = m_heap[p];
c = p;
p = (p-)/;
}
}
m_heap[c] = tmp;
} /*
* 将data插入到二叉堆中
*
* 返回值：
* 0，表示成功
* -1，表示失败
*/
int maxheap_insert(int data)
{
// 如果"堆"已满，则返回
if(m_size == m_capacity)
return -; m_heap[m_size] = data; // 将"数组"插在表尾
maxheap_filterup(m_size); // 向上调整堆
m_size++; // 堆的实际容量+1 return ;
} /*
* 打印二叉堆
*
* 返回值：
* 0，表示成功
* -1，表示失败
*/
void maxheap_print()
{
int i;
for (i=; i<m_size; i++)
printf("%d ", m_heap[i]);
} void main()
{
int a[] = {, , , , , , , , };
int i, len=LENGTH(a); printf("== 依次添加: ");
for(i=; i<len; i++)
{
printf("%d ", a[i]);
maxheap_insert(a[i]);
} printf("\n== 最 大 堆: ");
maxheap_print(); i=;
maxheap_insert(i);
printf("\n== 添加元素: %d", i);
printf("\n== 最 大 堆: ");
maxheap_print(); i=;
maxheap_remove(i);
printf("\n== 删除元素: %d", i);
printf("\n== 最 大 堆: ");
maxheap_print();
printf("\n");
}
二叉堆(最小堆)的实现文件(min_heap.c)
/**
* 二叉堆(最小堆)
*
* @author skywang
* @date 2014/03/07
*/ #include <stdio.h>
#include <stdlib.h> #define LENGTH(a) ( (sizeof(a)) / (sizeof(a[0])) ) static int m_heap[];
static int m_capacity=; // 总的容量
static int m_size=; // 实际容量(初始化为0) /*
* 返回data在二叉堆中的索引
*
* 返回值：
* 存在 -- 返回data在数组中的索引
* 不存在 -- -1
*/
int get_index(int data)
{
int i=; for(i=; i<m_size; i++)
if (data==m_heap[i])
return i; return -;
} /*
* 最小堆的向下调整算法
*
* 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。
*
* 参数说明：
* start -- 被下调节点的起始位置(一般为0，表示从第1个开始)
* end -- 截至范围(一般为数组中最后一个元素的索引)
*/
static void minheap_filterdown(int start, int end)
{
int c = start; // 当前(current)节点的位置
int l = *c + ; // 左(left)孩子的位置
int tmp = m_heap[c]; // 当前(current)节点的大小 while(l <= end)
{
// "l"是左孩子，"l+1"是右孩子
if(l < end && m_heap[l] > m_heap[l+])
l++; // 左右两孩子中选择较小者，即m_heap[l+1]
if(tmp <= m_heap[l])
break; //调整结束
else
{
m_heap[c] = m_heap[l];
c = l;
l = *l + ;
}
}
m_heap[c] = tmp;
} /*
* 删除最小堆中的data
*
* 返回值：
* 0，成功
* -1，失败
*/
int minheap_remove(int data)
{
int index;
// 如果"堆"已空，则返回-1
if(m_size == )
return -; // 获取data在数组中的索引
index = get_index(data);
if (index==-)
return -; m_heap[index] = m_heap[--m_size]; // 用最后元素填补
minheap_filterdown(index, m_size-); // 从index号位置开始自上向下调整为最小堆 return ;
} /*
* 最小堆的向上调整算法(从start开始向上直到0，调整堆)
*
* 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。
*
* 参数说明：
* start -- 被上调节点的起始位置(一般为数组中最后一个元素的索引)
*/
static void filter_up(int start)
{
int c = start; // 当前节点(current)的位置
int p = (c-)/; // 父(parent)结点的位置
int tmp = m_heap[c]; // 当前节点(current)的大小 while(c > )
{
if(m_heap[p] <= tmp)
break;
else
{
m_heap[c] = m_heap[p];
c = p;
p = (p-)/;
}
}
m_heap[c] = tmp;
} /*
* 将data插入到二叉堆中
*
* 返回值：
* 0，表示成功
* -1，表示失败
*/
int minheap_insert(int data)
{
// 如果"堆"已满，则返回
if(m_size == m_capacity)
return -; m_heap[m_size] = data; // 将"数组"插在表尾
filter_up(m_size); // 向上调整堆
m_size++; // 堆的实际容量+1 return ;
} /*
* 打印二叉堆
*
* 返回值：
* 0，表示成功
* -1，表示失败
*/
void minheap_print()
{
int i;
for (i=; i<m_size; i++)
printf("%d ", m_heap[i]);
} void main()
{
int a[] = {, , , , , , , , };
int i, len=LENGTH(a); printf("== 依次添加: ");
for(i=; i<len; i++)
{
printf("%d ", a[i]);
minheap_insert(a[i]);
} printf("\n== 最 小 堆: ");
minheap_print(); i=;
minheap_insert(i);
printf("\n== 添加元素: %d", i);
printf("\n== 最 小 堆: ");
minheap_print(); i=;
minheap_remove(i);
printf("\n== 删除元素: %d", i);
printf("\n== 最 小 堆: ");
minheap_print();
printf("\n");
}
二叉堆的C测试程序
测试程序已经包含在相应的实现文件中了，这里就不再重复说明了。
最大堆(max_heap.c)的运行结果：
== 依次添加:
== 最 大 堆:
== 添加元素:
== 最 大 堆:
== 删除元素:
== 最 大 堆:
最小堆(min_heap.c)的运行结果：
== 依次添加:
== 最 小 堆:
== 添加元素:
== 最 小 堆:
== 删除元素:
== 最 小 堆:
PS. 二叉堆是"堆排序"的理论基石。以后讲解算法时会讲解到"堆排序"，理解了"二叉堆"之后，"堆排序"就很简单了。