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论文：

Ring loss: Convex Feature Normalization for Face Recognition

https://arxiv.org/abs/1803.00130v1

理解的不对的地方请见谅

Ring loss将特征限制到缩放后的单位圆上，同时能保持凸性，来得到更稳健的特征。

该损失函数作为辅助的损失，结合Softmax或者A-softmax等损失函数，来学习到特征的模，因而唯一的超参数就是ring loss的权重。论文中在权重为0.01时效果最好。

论文中指出，arcface，cosface等在训练时，损失函数之前将特征进行了归一化，但网络实际上并未学习到归一化的特征。如下图所示，a为训练样本的特征分布，b为测试样本的特征分布，训练样本特征均集中在一定的夹角范围内。但是对于测试样本中模比较小的，其变化范围比较大。

令F为深度模型，x为输入图像，则F(x)为特征。可优化下面的损失函数：

$\min {{L}_{s}}(F(x))\text{  s}\text{.t}\text{. }{{\left\| F(x) \right\|}_{2}}=R$

R为归一化后特征的模。由于模的等式限制，导致实际上该损失函数是非凸的（这句话不太确定怎么翻译，反正是非凸）。

因而Ring loss定义如下：

${{L}_{R}}=\frac{\lambda }{2m}\sum\limits_{i=1}^{m}{{{({{\left\| F({{x}_{i}}) \right\|}_{2}}-R)}^{2}}}$

相应的梯度计算如下：

$\frac{\partial {{L}_{R}}}{\partial R}=-\frac{\lambda }{m}\sum\limits_{i=1}^{m}{({{\left\| F({{x}_{i}}) \right\|}_{2}}-R)}$

$\frac{\partial {{L}_{R}}}{\partial F({{x}_{i}})}=\frac{\lambda }{m}(1-\frac{R}{{{\left\| F({{x}_{i}}) \right\|}_{2}}})F({{x}_{i}})$

上式中R为特征模的长度，类似于cosface及arcface中使用到的s，只不过s是提前设定的（将特征的模归一化，并放大到该值），如30，而此处的R是通过训练学到的。m为batchsize， 为Ring loss的权重。实际使用时，可以结合softmax loss/A-softmax loss。Softmax/A-softmax loss为主损失函数，Ring loss为辅助损失函数。论文中 为0.01时，训练效果最好。

下图是一个简单的例子，其中绿色点为初始化的点，蓝色的为目标类别，红色的为经过20次训练后，特征的分布。a为使用softmax的结果；b为使用ring loss，权重为1；c为使用ring loss，权重为10。可见，使用softmax后，特征收敛到比较大的范围。由于使用ring loss时，设置的特征模长为1，因而b能收敛到比较合理的位置（特征较集中）。当权重太大时，softmax起的作用很小，导致特征收敛到单位圆上，如c所示。因而需要合理的权重来平衡辅助损失函数ring loss和主损失函数。

论文中在MsCeleb1M（31000人，3.5M图像）上训练64层的resnet网络，性能比较好。

我这边在pytorch中进行了实现，初始化时R为0-30之间的随机数，在casia上训练resnet20的网络，效果稍微好于直接使用softmax训练后的模型（softmax的dir78%，ring loss的dir：不到80%。这两个模型均使用了batchnorm，否则dir没有这么高。。。）。