题目大意

给出一个长度为 \(n\) 的序列 \(a\)，令 \(m=\prod_{i=1}^na_i\)，问有多少个长度为 \(n\) 的序列使得序列中的所有数的乘积等于 \(m\)。

输出方案数模 \(10^9+7\)。

解题思路

前置知识：组合数学，逆元。

先考虑将 \(a_i\) 分解质因数，并记录每个质数出现的质数，用 map 维护即可。

假设现在有 \(n\) 个箱子。

对于每个质数， 都可以分别放到 \(n\) 个箱子上去， 可以在某个箱子不放， 也可以在某个箱子放很多个。

根据隔板法，得：若一种质因数共有 \(x\) 个， 那么就有 \(\operatorname{C}(n+x-1,n-1)\) 种放法。

设有 \(p\) 个不同的质数，第 \(i\) 个质数出现了 \(q_i\) 次，那么，

\[ans=\prod_{i=1}^{p}\operatorname{C}(n+q_i-1,n-1) \]

CODE

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define int long long

const int _ = 4e5;

bool pri[_ + 7];

map<int, int> num;

int fac[_ + 7], invfac[_ + 7];

const int Mod = 1e9 + 7;

inline void getprime()
{
    for (int i = 2; i <= _; i++)
        if (!pri[i])
            for (int j = i + i; j <= _; j += i)
                pri[j] = 1;
}

inline void getnum(int x)
{
    for (int i = 2; i * i <= x; i++)
        if (!pri[i])
            while (x % i == 0)
            {
                x /= i;
                num[i]++;
            }
    if (x != 1)
        num[x]++;
}

inline int Pow(int x, int y)
{
    int res = 1;
    while(y)
    {
    	if(y & 1) res = res * x % Mod;
    	x = x * x % Mod;
    	y >>= 1;
	}
	return res;
}

inline void getfac()
{
    fac[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= _; i++)
        fac[i] = fac[i - 1] * i % Mod;
    invfac[_] = Pow(fac[_], Mod - 2);
    for (int i = _ - 1; i >= 0; i--)
        invfac[i] = invfac[i + 1] * (i + 1) % Mod;
}

inline long long C(int a, int b)
{
    if (b == 0)
        return 1;
    return fac[a] * invfac[b] % Mod * invfac[a - b] % Mod;
}

int n, tmp;

int ans = 1;

signed main()
{
    getprime();
    getfac();
    scanf("%lld", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        scanf("%lld", &tmp);
        getnum(tmp);
    }
    for (auto it = num.begin(); it != num.end(); it++)
    {
        ans *= C(n + (it->second) - 1, n - 1);
        ans %= Mod;
    }
    printf("%lld\n", ans % Mod);
    return 0;
}