【BZOJ-4518】征途 DP + 斜率优化

2022-10-20 18:41:19

4518: [Sdoi2016]征途

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Description

Pine开始了从S地到T地的征途。

从S地到T地的路可以划分成n段，相邻两段路的分界点设有休息站。

Pine计划用m天到达T地。除第m天外，每一天晚上Pine都必须在休息站过夜。所以，一段路必须在同一天中走完。

Pine希望每一天走的路长度尽可能相近，所以他希望每一天走的路的长度的方差尽可能小。

帮助Pine求出最小方差是多少。

设方差是v，可以证明，v×m^2是一个整数。为了避免精度误差，输出结果时输出v×m^2。

Input

第一行两个数 n、m。

第二行 n 个数，表示 n 段路的长度

Output

一个数，最小方差乘以 m^2 后的值

Sample Input

5 2
1 2 5 8 6

Sample Output

HINT

1≤n≤3000,保证从 S 到 T 的总路程不超过 30000

Source

鸣谢Menci上传

Solution

DP + 斜率优化

首先对所求的东西进行一下化简：

即最后的结果为$m*\sum_{i=1}^{m}x_{i}^{2}-\sum_{i=1}^{m}x_{i}$其中$x_{i}$表示第$i$天走的路段总和

很显然有$\sum_{i=1}^{m}x_{i}$为定值，那么只需要最小化$\sum_{i=1}^{m}x_{i}^{2}$

那么考虑$f[i][j]$表示$i$天共走了$j$段路的最优

首先可以有某天停滞不前，那么很容易发现，若要最优，则不可能停滞不前

可以得到转移$dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i-1][j-k]+(sum[j]-sum[j-k])^{2}),k=1-j$

那么固定下$i$后，很显然对于$j$是满足斜率优化的

那么化简就可以得到$\frac{dp[i-1][k_{1}]+sum[k_{1}]^{2}-dp[i-1][k_{2}]-sum[k_{2}]^{2}}{sum[k_{1}]-sum[k_{2}]}<2*sum[j]$

那么斜率优化即可，自己还打了个滚动数组，不过貌似毫无意义

Code

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<cmath>

#include<algorithm>

#include<cstring>

using namespace std;

inline int read()

{

    int x=,f=; char ch=getchar();

    while (ch<'' || ch>'') {if (ch=='-') f=-; ch=getchar();}

    while (ch>='' && ch<='') {x=x*+ch-''; ch=getchar();}

    return x*f;

}

#define maxn 3010

int n,m; int dis[maxn],que[maxn],l,r;

long long dp[][maxn],sum[maxn];

long long pf(long long x) {return x*x;}

inline double slope(int t,int i,int j)

{

    return (double)(dp[t][i]+pf(sum[i])-dp[t][j]-pf(sum[j]))/(double)(sum[i]-sum[j]);

}

int main()

{

    n=read(),m=read();

    for (int i=; i<=n; i++) dis[i]=read(),sum[i]=sum[i-]+dis[i];

    memset(dp,,sizeof(dp)); dp[][]=;

    for (int t=,i=; i<=m; i++,t^=,l=r=)

        for (int tmp,j=; j<=n; j++)

            {

                while (l<r && slope(t^,que[l],que[l+])<(sum[j]<<)) l++;

                tmp=que[l];

                dp[t][j]=pf(sum[j]-sum[tmp])+dp[t^][tmp];

                while (l<r && slope(t^,que[r],que[r-])>slope(t^,que[r],j)) r--;

                que[++r]=j;

            }

    printf("%lld\n",m*dp[m&][n]-pf(sum[n]));

    return ;

}

在BZOJ上好像排名不高啊....

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