题目大意
有\(n\)个格子，一开始你在\(1\)号格子。每次你只能往编号更大的格子走。从第\(i\)个格子走到第\(j\)个格子的代价是\(a_i+a_j\times(j-i)\times m\)
\(a_i\)为与\(i\)互质且不大于\(i\)的正整数的个数。
\(n\leq 1000000\)
题解
显然\(a_i=\varphi(i)\)。
如果\(j<k\)且\(j\)比\(k\)优，那么
\[\begin{align}
f_j+a_j+a_i\times (i-j)\times m&<f_k+a_k+a_i\times (i-k)\times m\\
f_j+a_j+a_iim-a_ijm&<f_k+a_k+a_iim-a_ikm\\
f_j+a_j-a_ijm&<f_k+a_k-a_ikm\\
f_j+a_j-f_k-a_k&<a_ijm-a_ikm\\
\frac{f_j-f_k+a_j-a_k}{j-k}&>a_im
\end{align}
\]
f_j+a_j+a_i\times (i-j)\times m&<f_k+a_k+a_i\times (i-k)\times m\\
f_j+a_j+a_iim-a_ijm&<f_k+a_k+a_iim-a_ikm\\
f_j+a_j-a_ijm&<f_k+a_k-a_ikm\\
f_j+a_j-f_k-a_k&<a_ijm-a_ikm\\
\frac{f_j-f_k+a_j-a_k}{j-k}&>a_im
\end{align}
\]
这告诉我们要维护一个斜率递增的栈。
这道题\(a_i\)不像其他题一样是单调递增的，所以要把下凸壳上所有的点保存下来，每次二分找到最优的点。
时间复杂度：\(O(n\log n)\)
代码
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<utility>
#include<cmath>
#include<functional>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> pii;
typedef pair<ll,ll> pll;
void sort(int &a,int &b)
{
if(a>b)
swap(a,b);
}
void open(const char *s)
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
char str[100];
sprintf(str,"%s.in",s);
freopen(str,"r",stdin);
sprintf(str,"%s.out",s);
freopen(str,"w",stdout);
#endif
}
int rd()
{
int s=0,c;
while((c=getchar())<'0'||c>'9');
do
{
s=s*10+c-'0';
}
while((c=getchar())>='0'&&c<='9');
return s;
}
int upmin(int &a,int b)
{
if(b<a)
{
a=b;
return 1;
}
return 0;
}
int upmax(int &a,int b)
{
if(b>a)
{
a=b;
return 1;
}
return 0;
}
int b[1000010];
int pri[1000010];
int cnt;
int phi[1000010];
ll f[1000010];
//ll g[1000010];
int q[1000010];
//int from[1000010];
ll gety(int x)
{
return f[x]+phi[x];
}
int n,m;
ll calc(int x,int y)
{
return f[x]+phi[x]+phi[y]*ll(y-x)*m;
}
int main()
{
open("pfzr");
scanf("%d%d",&n,&m);
int i,j;
phi[1]=1;
for(i=2;i<=n;i++)
{
if(!b[i])
{
pri[++cnt]=i;
phi[i]=i-1;
}
for(j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<=n;j++)
{
b[i*pri[j]]=1;
if(i%pri[j]==0)
{
phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];
break;
}
phi[i*pri[j]]=phi[i]*phi[pri[j]];
}
}
memset(f,0x7f,sizeof f);
// memset(g,0x7f,sizeof g);
// g[1]=0;
f[1]=0;
// for(i=2;i<=n;i++)
// for(j=1;j<i;j++)
// if(g[j]+phi[j]+ll(phi[i])*(i-j)*m<g[i])
// {
// g[i]=g[j]+phi[j]+ll(phi[i])*(i-j)*m;
// from[i]=j;
// }
int t=0;
q[++t]=1;
for(i=2;i<=n;i++)
{
int l=1,r=t;
while(l<r)
{
int mid=(l+r)>>1;
if(gety(q[mid])-gety(q[mid+1])<ll(q[mid]-q[mid+1])*phi[i]*m)
r=mid;
else
l=mid+1;
}
f[i]=f[q[l]]+phi[q[l]]+ll(phi[i])*(i-q[l])*m;
while(t>=2&&(gety(q[t-1])-gety(q[t]))*(q[t]-i)>(gety(q[t])-gety(i))*(q[t-1]-q[t]))
t--;
while(t>=1&&gety(q[t])-gety(i)>0)
t--;
q[++t]=i;
}
printf("%lld\n",f[n]);
return 0;
}