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题目传送门 - https://www.nowcoder.com/acm/contest/146/H
题意
有 $n$ 堆石子，第 $i$ 堆有 $a_i$ 个。请你取出尽量多堆石子，使得取石子nim游戏后手必胜。输出你选择的石子堆数。
$n,a_i\leq 5\times 10^5$
题解
首先我们把题转化成：在 $n$ 个数中选择尽量多的数，使得他们的异或值为 $0$ 。
然后我们把题转化成：在 $n$ 个数中选择尽量少的数，使得他们的异或值为一个特定值 $C$ 。其中 $C=a_1\ {\rm XOR} \cdots {\rm XOR}\ a_n$ 。显然，答案为 $n-$ 你选择的数的个数。
考虑将 $a_i$ 二进制的每一维拆开，看作一个 $d$ 维向量。其中由于 $a_i\leq 2^{19}$，所以我们取 $d=19$ 。
由于 $d$ 维线性无关向量组最多有 $n$ 个向量，所以我们最多在那些数字里面取 $d$ 个。
我们考虑二分答案，假设选择小于等于 $k$ 个就可以组成 $C$ 了。
我们如何验证：
对于原数组每一个数出现的位置都记一下，然后把位置 $0$ 也搞一下，然后取它在异或卷积意义下的 $k$ 次幂，判断一下可不可以合成 $C$ 即可。这个用 FWT 做。
代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int read(){
int x=0;
char ch=getchar();
while (!isdigit(ch))
ch=getchar();
while (isdigit(ch))
x=(x<<1)+(x<<3)+ch-48,ch=getchar();
return x;
}
const int N=1<<19,mod=1e9+7,inv2=5e8+4;
int n,a[N],b[N],v=0;
int Pow(int x,int y){
int ans=1;
for (;y;y>>=1,x=1LL*x*x%mod)
if (y&1)
ans=1LL*ans*x%mod;
return ans;
}
void FWT(int a[],int n,int flag){
for (int d=1;d<n;d<<=1)
for (int i=0;i<n;i+=(d<<1))
for (int j=0;j<d;j++){
int x=a[i+j],y=a[i+j+d];
a[i+j]=(x+y)%mod;
a[i+j+d]=(x-y)%mod;
if (flag==-1){
a[i+j]=1LL*a[i+j]*inv2%mod;
a[i+j+d]=1LL*a[i+j+d]*inv2%mod;
}
}
}
bool check(int x,int n){
for (int i=0;i<n;i++)
b[i]=Pow(a[i],x);
FWT(b,n,-1);
b[v]=(b[v]+mod)%mod;
return b[v]>0;
}
int main(){
n=read();
memset(a,0,sizeof a);
for (int i=1;i<=n;i++){
int x=read();
v^=x;
a[x]++;
}
a[0]++;
int m=1<<19;
FWT(a,m,1);
int L=0,R=19,mid,ans=19;
while (L<=R){
mid=(L+R)>>1;
if (check(mid,m))
R=mid-1,ans=mid;
else
L=mid+1;
}
printf("%d\n",n-ans);
return 0;
}