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论文：
SphereFace: Deep Hypersphere Embedding for Face Recognition
https://arxiv.org/abs/1704.08063
http://wyliu.com/papers/LiuCVPR17v3.pdf
官方代码：
https://github.com/wy1iu/sphereface
pytorch代码：
https://github.com/clcarwin/sphereface_pytorch
说明：没用过mxnet，下面的代码注释只是纯粹从代码的角度来分析并进行注释，如有错误之处，敬请谅解，并欢迎指出。
传统的交叉熵公式如下：
${{L}_{i}}=-\log \frac{{{e}^{W_{yi}^{T}{{x}_{i}}+{{b}_{yi}}}}}{\sum\nolimits_{j}{{{e}^{W_{j}^{T}{{x}_{i}}+{{b}_{j}}}}}}=-\log \frac{{{e}^{\left\| {{W}_{yi}} \right\|\left\| {{x}_{i}} \right\|\cos ({{\theta }_{yi}},i)+{{b}_{yi}}}}}{\sum\nolimits_{j}{{{e}^{\left\| {{W}_{j}} \right\|\left\| {{x}_{i}} \right\|\cos ({{\theta }_{j}},i)+{{b}_{j}}}}}}$
将W归一化到1，且不考虑偏置项，即${{b}_{j}}=0$，则上式变成：
${{L}_{\text{modified}}}=\frac{1}{N}\sum\limits_{i}{-\log (\frac{{{e}^{\left\| {{x}_{i}} \right\|\cos ({{\theta }_{yi}},i)}}}{\sum\nolimits_{j}{{{e}^{\left\| {{x}_{i}} \right\|\cos ({{\theta }_{j}},i)}}}}})$
其中θ为w和x的夹角。
为了进一步限制夹角的范围，使用mθ，上式变成
${{L}_{\text{ang}}}=\frac{1}{N}\sum\limits_{i}{-\log (\frac{{{e}^{\left\| {{x}_{i}} \right\|\cos (m{{\theta }_{yi}},i)}}}{{{e}^{\left\| {{x}_{i}} \right\|\cos (m{{\theta }_{yi}},i)}}+\sum\nolimits_{j\ne yi}{{{e}^{\left\| {{x}_{i}} \right\|\cos ({{\theta }_{j}},i)}}}}})$
其中θ范围为$\left[ 0,\frac{\pi }{m} \right]$。
为了使得上式单调，引入$\psi ({{\theta }_{yi,i}})$：
${{L}_{\text{ang}}}=\frac{1}{N}\sum\limits_{i}{-\log (\frac{{{e}^{\left\| {{x}_{i}} \right\|\psi ({{\theta }_{yi,i}})}}}{{{e}^{\left\| {{x}_{i}} \right\|\psi ({{\theta }_{yi,i}})}}+\sum\nolimits_{j\ne yi}{{{e}^{\left\| {{x}_{i}} \right\|\cos ({{\theta }_{j}},i)}}}}})$
其中
$\psi ({{\theta }_{yi,i}})={{(-1)}^{k}}\cos (m{{\theta }_{yi,i}})-2k$，${{\theta }_{yi,i}}\in \left[ \frac{k\pi }{m},\frac{(k+1)\pi }{m} \right]$，$k\in \left[ 0,m-1 \right]$，$m\ge 1$
代码中引入了超参数λ，为
$\lambda =\max ({{\lambda }_{\min }},\frac{{{\lambda }_{\max }}}{1+0.1\times iterator})$
其中，${{\lambda }_{\min }}=5$，${{\lambda }_{\max }}=1500$为程序中预先设定的值。
实际的$\psi (\theta )$为
$\psi ({{\theta }_{yi}})=\frac{{{(-1)}^{k}}\cos (m{{\theta }_{yi}})-2k+\lambda \cos ({{\theta }_{yi}})}{1+\lambda }$
对应下面代码为：
output = cos_theta * 1.0
output[index] -= cos_theta[index]*(1.0+0)/(1+self.lamb)
output[index] += phi_theta[index]*(1.0+0)/(1+self.lamb)
对于yi处的计算，
$output(yi)=\cos ({{\theta }_{yi}})-\frac{\cos ({{\theta }_{yi}})}{1+\lambda }+\frac{\psi ({{\theta }_{yi}})}{1+\lambda }=\frac{\psi ({{\theta }_{yi}})+\lambda \cos ({{\theta }_{yi}})}{1+\lambda }=\frac{{{(-1)}^{k}}\cos (m{{\theta }_{yi}})-2k+\lambda \cos ({{\theta }_{yi}})}{1+\lambda }$
和上面的公式对应。
具体的代码如下（完整的代码见参考网址）：
class AngleLinear(nn.Module):
def __init__(self, in_features, out_features, m = 4, phiflag=True):
super(AngleLinear, self).__init__()
self.in_features = in_features
self.out_features = out_features
self.weight = Parameter(torch.Tensor(in_features,out_features))
self.weight.data.uniform_(-1, 1).renorm_(2,1,1e-5).mul_(1e5)
self.phiflag = phiflag
self.m = m
self.mlambda = [
lambda x: x**0, # cos(0*theta)=1
lambda x: x**1, # cos(1*theta)=cos(theta)
lambda x: 2*x**2-1, # cos(2*theta)=2*cos(theta)**2-1
lambda x: 4*x**3-3*x,
lambda x: 8*x**4-8*x**2+1,
lambda x: 16*x**5-20*x**3+5*x
] def forward(self, input): # input为输入的特征，(B, C)，B为batchsize，C为图像的类别总数
x = input # size=(B,F)，F为特征长度，如512
w = self.weight # size=(F,C) ww = w.renorm(2,1,1e-5).mul(1e5) #对w进行归一化，renorm使用L2范数对第1维度进行归一化，将大于1e-5的截断，乘以1e5，使得最终归一化到1.如果1e-5设置的过大，裁剪时某些很小的值最终可能小于1。注意，第0维度只对每一行进行归一化（每行平方和为1），第1维度指对每一列进行归一化。由于w的每一列为x的权重，因而此处需要对每一列进行归一化。如果要对x归一化，需要对每一行进行归一化，此时第二个参数应为0
xlen = x.pow(2).sum(1).pow(0.5) # 对输入x求平方，而后对不同列求和，再开方，得到每行的模，最终大小为第0维的，即B(由于对x不归一化，但是计算余弦时需要归一化，因而可以先计算模。但是对于w，不太懂为何不直接使用这种方式，而是使用renorm函数？)
wlen = ww.pow(2).sum(0).pow(0.5) # 对权重w求平方，而后对不同行求和，再开方，得到每列的模（理论上之前已经归一化，此处应该是1，但第一次运行到此处时，并不是1，不太懂），最终大小为第1维的，即C cos_theta = x.mm(ww) # 矩阵相乘(B,F)*(F,C)=(B,C)，得到cos值，由于此处只是乘加，故未归一化
cos_theta = cos_theta / xlen.view(-1,1) / wlen.view(1,-1) # 对每个cos值均除以B和C，得到归一化后的cos值
cos_theta = cos_theta.clamp(-1,1) #将cos值截断到[-1,1]之间，理论上不截断应该也没有问题，毕竟w和x都归一化后，cos值不可能超出该范围 if self.phiflag:
cos_m_theta = self.mlambda[self.m](cos_theta) # 通过cos_theta计算cos_m_theta，mlambda为cos_m_theta展开的结果
theta = Variable(cos_theta.data.acos()) # 通过反余弦，计算角度theta，(B,C)
k = (self.m*theta/3.14159265).floor() # 通过公式，计算k，(B,C)。此处为了保证theta大于k*pi/m，转换过来就是m*theta/pi，再向上取整
n_one = k*0.0 - 1 # 通过k的大小，得到同样大小的-1矩阵，(B,C)
phi_theta = (n_one**k) * cos_m_theta - 2*k # 通过论文中公式，得到phi_theta。(B,C)
else:
theta = cos_theta.acos() # 得到角度theta，(B, C)，每一行为当前特征和w的每一列的夹角
phi_theta = myphi(theta,self.m) #
phi_theta = phi_theta.clamp(-1*self.m,1) cos_theta = cos_theta * xlen.view(-1,1) # 由于实际上不对x进行归一化，此处cos_theta需要乘以B。(B,C)
phi_theta = phi_theta * xlen.view(-1,1) # 由于实际上不对x进行归一化，此处phi_theta需要乘以B。(B,C)
output = (cos_theta,phi_theta)
return output # size=(B,C,2) class AngleLoss(nn.Module):
def __init__(self, gamma=0):
super(AngleLoss, self).__init__()
self.gamma = gamma
self.it = 0
self.LambdaMin = 5.0
self.LambdaMax = 1500.0
self.lamb = 1500.0 def forward(self, input, target):
self.it += 1
cos_theta,phi_theta = input # cos_theta，(B,C)。 phi_theta，(B,C)
target = target.view(-1,1) #size=(B,1) index = cos_theta.data * 0.0 #得到和cos_theta相同大小的全0矩阵。(B,C)
index.scatter_(1,target.data.view(-1,1),1) # 得到一个one-hot矩阵，第i行只有target[i]的值为1，其他均为0
index = index.byte() # index为float的，转换成byte类型
index = Variable(index) self.lamb = max(self.LambdaMin,self.LambdaMax/(1+0.1*self.it)) # 得到lamb
output = cos_theta * 1.0 #size=(B,C) # 如果直接使用output=cos_theta，可能不收敛(未测试，但其他程序中碰到过直接对输入使用[index]无法收敛，加上*1.0可以收敛的情况)
output[index] -= cos_theta[index]*(1.0+0)/(1+self.lamb) # 此行及下一行将target[i]的值通过公式得到最终输出
output[index] += phi_theta[index]*(1.0+0)/(1+self.lamb) logpt = F.log_softmax(output) # 得到概率
logpt = logpt.gather(1,target) # 下面为交叉熵的计算（和focal loss的计算有点类似，当gamma为0时，为交叉熵）。
logpt = logpt.view(-1)
pt = Variable(logpt.data.exp()) loss = -1 * (1-pt)**self.gamma * logpt
loss = loss.mean() # target = target.view(-1) # 若要简化，理论上可直接使用这两行计算交叉熵(此处未测试，在其他程序中使用后可以正常训练)
# loss = F.cross_entropy(cos_theta, target) return loss