这节课的题目是Deep learning，个人以为说的跟Deep learning比较浅，跟autoencoder和PCA这块内容比较紧密。

林介绍了deep learning近年来受到了很大的关注：deep NNet概念很早就有，只是受限于硬件的计算能力和参数学习方法。

近年来深度学习长足进步的原因有两个：

1）pre-training技术获得了发展

2）regularization的技术获得了发展

接下来，林开始介绍autoencoder的motivation。

每过一个隐层，可以看做是做了一次对原始输入信息的转换。

什么是一个好的转换呢？就是因为这种转换而丢失较多的信息：即encoding之后，甚至可以用decoding的过程复原。

因此，在考虑deep NNet的参数学习的时候，如果在pre-training阶段采用类似autoencoding的方式，似乎是一个不错的选择。

如下，就是autoencoder的一个示例。简单来说，就是经过如下的单层神经网络结构后，输出跟输出十分接近。

这种autoencoder对于机器学习来说有什么作用呢？

1）对于supervised learning来说：这种information-preserving NN的隐层结构+权重是一种对原始输入合理的转换，相当于在结构中学习了data的表达方式

2）对于unsupervised learning来说：可以作为density estimation或outlier detection。这个地方没太理解清，可能还是缺少例子。

autoencoder可以看成是单层的NN，可以用backprop求解；这里需要多加入一个正则化条件，wij(1)=wji(2)

采用上述的basic autoencoder，可以作为Deep NNet的pre-training方式。

接下来，林开始关注Deep NNet的regularization的问题。

之前提到过的几种regularization方式都可以用（structural constraints、weight decay/elimination regularizers、early stopping），下面介绍一种新的regularization technique。

这种方式是：adding noise to data

简单来说，在训练autoencoder的时候加入高斯噪声，喂进去的输出端还是没有加入噪声的data；这样学出来的autoencoder就具备了抵抗noise的能力。

接下来，开始引入PCA相关的内容。

之前陈述的autoencoder可以归类到nonliner autoencoder（因为隐层输出需要经过tanh的操作，所以是nonlinear的）。

那么如果是linear autoencoder呢？(这里把隐层的bias单元去掉)

最后得到的linear autoencoder的表达式就是 ：h(x)=WW'x

由此，可以写出来error function

这是一个关于W的4阶的多项式，analytic solution不太好整。

于是林给出了下面的一种求解思路：

上述的核心在于：WW'是实对称阵。

实对称阵有如下的性质：(http://wenku.baidu.com/view/1470f0e8856a561252d36f5d.html)

我们注意一下W这个矩阵：W是d×d'维度的矩阵；WW'是d×d维度的矩阵。

这里回顾一下矩阵的秩的性质：

因此，WW'的秩最大就是d'了（d代表数据的原始维度，d'代表隐层神经元的个数，一般d'＜d）

WW'的秩最大是d'能得到这样的结论：WW'至多有d'个非零特征值→对角阵gamma对角线上最多有d'个非零元素。

这里需要复习线性代数一个概念：

　　如果矩阵可以对角化，那么非零特征值的个数就等于矩阵的秩；如果矩阵不可以对角化，那么这个结论就不一定成立了。

　　这里我们说的WW'是实对称阵，又因为实对称阵一定可以对角化，因此WW'的非零特征值特殊就等于矩阵的秩。

通过上述的内容，WW'x又可以看成是VgammaV'x:

1）V'x 可以看成是对原始输入rotate

2）gamma 可以看成是将0特征值的component的部分设成0，并且scale其余的部分

3）再转回来

因此，优化目标函数就出来了

这里可以不用管前面的V（这是正交变换的一个性质，正交变换不改变两个向量的内积，详情见https://zh.wikipedia.org/wiki/正交）

这样一来，问题就简化了：令I-gamma生出很多0，利用gamma对角线元素的*度，往gamma里面塞1，最多塞d'个1。剩下的事情交给V来搞定。

1）先把最小化转化为等价的最大化问题

2）用只有一个非零特征值的情况来考虑，Σv'xx'v  s.t. v'v=1

3）在上述最优化问题中，最好的v要满足error function和constraints在最优解的时候，他们的微分要平行。

4）再仔细观察下形式 Σxx'v = lambdav 这里的v不就是XX'的特征向量么

因此，最优化的v就是特征值最大的XX'的特征向量。需要降到多少维的，就取前多少个特征向量。

林最后提了一句PCA，其实就是在进行上述步骤之前先对各个维度的向量均值化：

下面说一下PCA。

http://blog.codinglabs.org/articles/pca-tutorial.html

上面这篇日志非常好，基本完全解释了PCA的来龙去脉。

1）PCA的目的是对数据降维之后，还能尽量保持数据原有的信息（分得开。。。方差大。。。）

2）如果对原始数据各个维度做均值化的操作之后，方差&协方差，只用一个矩阵就表示出来了。

上述这段话看明白了，PCA的核心就有了：巧妙地把原始输入数据各个维度均值化之后，方差和协方差都放到一个矩阵里了。

优化的目标是：方差要大，协方差要小；这样的优化目标就等价于把协方差矩阵对角化。

实对称阵对角化是线性代数的基础知识：http://wenku.baidu.com/view/1470f0e8856a561252d36f5d.html

OK，PCA就大体上搞定了。

中途还看了stanford的http://ufldl.stanford.edu/wiki/index.php/PCA

脑子里冒出来一个想法：如果协方差矩阵是满秩的，并且不对数据降维，原来是多少维，还是多少维，那么变换前和变换后有啥区别呢？

从式子上看，这种变化相当于把变换后的协方差矩阵搞成对角阵了。如果从几何上来看，比较下面两个图：

变换前：

变换后：

直观上看就是整体给“放平”了。

变化前：x1越大 x2也越大，反之亦然

变换后：由于给放平了，x1的大小与x2的大小没关系了

因此，变换后这种放平就消除了x1和x2的相关性了，也就是协方差矩阵的非对角元素给搞成0的效果。