第1章 实数集：集合、序列与函数
假定读者已经熟悉实数、实数集、实数序列、一元实变量实值函数的性质，这些通常在本科生的分析课程中讨论.具有这些背景知识将使得读者能够透彻理解本章，本章用于快速而全面地建立以后要使用和参考的结果.假定实数集，记为R，满足三种类型的公理.我们叙述这些公理并从中导出自然数、有理数以及不可数集的性质.有了这些作为背景，我们建立实数的开集与闭集的性质，收敛、单调、实数的Cauchy序列，一元实变量连续实值函数.
1.1 域、正性以及完备性公理
假设给定实数集R，使得对于每对实数a和b，存在有定义的实数a+b和ab，分别称为a和b的和与积.它们满足以下的域公理、正性公理与完备性公理.
域公理
加法的交换性：对所有实数a和b，
a+b=b+a
加法的结合性：对所有实数a，b和c，
(a+b)+c=a+(b+c)
加法的单位元：存在实数，记为0，使得对所有实数a，
0+a=a+0=a
加法的逆元：对每个实数a，存在实数b使得
a+b=0
乘法的交换性：对所有实数a和b，
ab=ba
乘法的结合性：对所有实数a，b和c，
（ab)c=a(bc)
乘法的单位元：存在实数，记为1，使得对所有实数a，
1a=a1=a
乘法的逆元：对每个实数a≠0，存在实数b使得
ab=1
分配性：对所有实数a，b和c，
a(b+c)=ab+ac
非平凡性假设：
1≠0
满足上述公理的任何集合称为域.从加法的交换性可以得出加法的单位元0是唯一的，从乘法的交换性得出乘法的单位元1也是唯一的.加法的逆元和乘法的逆元也是唯一的.我们记a的加法的逆为-a，且若a≠0，记它的乘法逆为a-1或1/a.若有一个域，我们能实施所有初等代数的运算，包括解线性方程组.我们不加声明地使用这些公理的多种推论.
正性公理
在实数中存在自然的序的概念：大于，小于，等等.编辑这些性质的方便方法是具体给出整数集满足的公理.存在称为正数的实数集，记为P.它有以下两个性质：
P1 若a和b是正的，则ab和a+b也是正的.
P2 对于实数a，以下三种情况恰有一种成立：
a是正的， -a是正的， a=0
正性公理以自然的方式引出实数的序：对于实数a和b，定义a>b意味着a-b是正的，而a≥b意味着a>b或a=b.定义aa，而a≤b意味着b≥a.
用域公理和正性公理，可以正式证明不等式的常见性质（见习题2）.给定实数a和b满足a［a,b］={xa≤x≤b};［a,b）＝｛xa≤x
完备性公理
非空实数集E称为有上界，若存在实数b，使得对所有x∈E，x≤b：数b称为E的上界.类似地，定义集合有下界以及一个数为集合的下界.有上界的集合未必有最大的成员.但下一个公理断言它有一个最小的上界.
完备性公理 令E为有上界的非空实数集.则在E的上界的集合中有一个最小的上界.
对于实数的非空集E，E的最小上界的存在性由完备性公理来保证，记为l.u.b.E.E的最小上界通常称为E的上确界且记为sup E.从完备性公理得出每个有下界的非空实数集E有最大下界，记为g.l.b.E.它常称为E的下确界且记为inf E.一个非空实数集称为有界的，若它既有下界又有上界.
三角不等式
定义实数x的绝对值x为：若x≥0则等于x，若x<0则等于-x.以下不等式（称为三角不等式）在数学分析中是基本的：对任何实数对a和b，
|a+b|≤|a|+|b|
扩充的实数
引入符号∞和-∞并对所有实数x写-∞扩充的实数.若非空实数集E没有上界，我们定义它的上确界为∞.定义空集的上确界为-∞也是方便的.因此每个实数集有一个属于扩充的实数的上确界.类似地，可以推广下确界的概念使得每个非空的实数集有属于扩充实数的下确界.9我们将定义实数序列的极限，而允许极限是扩充的实数是方便的.收敛到实数的实数序列的许多性质在极限是±∞时继续成立，例如，和的极限是极限的和且积的极限是极限的积，若我们做出以下和与积的意义的推广：∞+∞=∞，-∞-∞=-∞，对每个实数x，x+∞=∞而x-∞=-∞；若x>0，x·∞=∞而x·（-∞）=-∞，若x<0，x·∞=-∞而x·（-∞）=∞.定义（-∞，∞）=R.对于a，b∈R，定义
（a,∞）={x∈R|a＜x}, （-∞,b）={x∈R|x＜b}
与
［a,∞）={x∈R|a≤x}, （-∞,b］={x∈R|x≤b}
上面形式的集合是*区间.从R的完备性可以推出所有*区间是上述形式的一种，而所有有界区间是（1）列出的形式，带有形如（a，b）的区间，我们将其留作练习.
习题
1.对a≠0和b≠0，证明（ab）^-1=a^-1b^-1.
2.验证：
（i） 对每个实数a≠0，a2>0.特别是，1>0，由于1≠0且1=12.
（ii） 对每个正数a，它的乘法逆a-1也是正的.
（iii） 设a>b，有若c>0， ac>bc； 而若c<0， ac
3.对于非空实数集E，证明inf E=sup E当且仅当E由单点组成.
4.令a和b为实数.
（i） 证明：若ab=0，则a=0或b=0.
（ii） 验证a2-b2=（a-b）（a+b），并从（i）部分推出：若a2=b2，则a=b或a=-b.
（iii） 令c为正实数.定义E={x∈R|x^20使得x^2=c.记之为.
5.令a，b和c为实数，使得a≠0.考虑二次方程ax2+bx+c=0, x∈R（i） 假定b2-4ac>0.用域公理和前一个习题来配方，从而证明该方程恰有由给出的两个解.
（ii） 现在假定b2-4ac＜0.证明二次方程无解.
6.用完备性公理证明每个有下界的非空实数集有下确界，且inf E=-sup{-x|x∈E}
7.对实数a和b，验证：
（i） |ab|=|a||b|.
（ii） |a+b|≤|a|+|b|.
（iii） 对ε>0，|x-a|<ε当且仅当a-ε
1.2 自然数与有理数
我们想定义自然数为数1,2,3,….然而，有必要更为精确.做这件事的一个方便途径是首先引入归纳集的概念.
定义 实数集E称为是归纳的，若它包含1，且若实数x属于E，则数x+1也属于E.全体实数集R是归纳的.从不等式1>0我们推出集合{x∈Rx≥0}和{x∈R|x≥1}是归纳的.自然数集，记为N，定义为R的所有归纳子集的交.集合N是归纳的.为看到这一点，观察到数1属于N，这是由于1属于每个归纳集.此外，若数k属于N，则k属于每个归纳集.因此，k+1属于每个归纳集，所以k+1属于N.
数学归纳法原理 对每个自然数n，令S(n)为某个数学断言.假定S（1）成立.也假定每当k是使得S（k）成立的自然数，则S（k+1）也成立.那么，对每个自然数n，S（n）成立.
证明 定义A={k∈N|S（k）成立}.假设恰好意味着A是一个归纳集.于是NA.因此对每个自然数n，S（n）成立.
定理1 每个非空自然数集有一个最小成员.
证明 令E为自然数的非空集.由于集合{x∈Rx≥1}是归纳的，自然数有下界1.因此E有下界1.作为完备性公理的一个推论，E有下确界，定义c=inf E.由于c+1不是E的下界，存在m∈E使得mArchimedeas性质 对于每对正实数a和b，存在自然数n使得na>b.
证明 定义c=b/a>0.我们用反证法证明.若定理是错的，则c是自然数的一个上界.根据完备性公理，自然数有一个上确界，定义c0=sup N.则c0-1不是自然数的上界.选取自然数n使得n>c0-1.因此n+1>c0.但自然数集是归纳的,因此n+1是自然数.由于n+1>c0，而c0不是自然数集的上界.这个矛盾完成了证明.我们经常重述R的Archimedeas性质：对每个正实数ε，存在自然数n使得1/n<ε.
定义整数集（记为Z）为由自然数、它们的相反数和数0组成的数集.有理数集，记为Q，定义为整数的商的集合，即形如x=m/n的数x，其中m和n是整数且n≠0.若一个实数不是有理的就称它为无理数.正如我们在习题4证明的，存在唯一的正数x使得x^2=2，记之为.这个数不是有理的.事实上，假定p和q是自然数使得（p/q）^2=2，则p^2=2q^2.素数分解定理告诉我们2除p^2的次数正好是它除p的次数的两倍.因此2除p^2偶数次.类似地，2除2q^2奇数次.于是p^2≠2q^2，且因此
是无理的.
定义 实数的集合E称为在R中稠密，若任何两个实数之间有E的成员.
定理2 有理数在R中稠密.
证明 令a和b为实数，满足a0.根据R的Archimedeas性质，存在自然数q使得（1/q）1.因此p-1是自然数（见习题9），因而根据p的选取的最小性，（p-1）/q-a.我们从考虑过的第一种情形推出：存在有理数r落在n+a与n+b之间.因此有理数r-n落在a与b之间.
习题
8.用归纳法证明：对每个自然数n，区间（n，n+1）不含任何自然数.
9.用归纳法证明：若n>1是自然数，则n-1也是一个自然数.接着用归纳法证明：若m和n是满足n>m的自然数，则n-m是自然数.
10.证明对任何实数r，区间［r,r+1)中恰有一个整数.
11.证明任何有上界的非空整数集有一个最大成员.
12.证明无理数集在R中稠密.
13.证明每个实数是某个有理数集的上确界，也是某个无理数集的上确界.
14.证明：若r>0，则对每个自然数n，（1+r）^n≥1+n·r.
15.用归纳法证明对每个自然数n，
1.3 可数集与不可数集
在预备知识中我们称两个集合A和B对等，若存在将A映上B的一对一映射f.我们称这样的f为集合A和B之间的一一对应.对等在集合间定义了一个等价关系，即它是自反的、对称的与传递的（见习题20）.记自然数{k∈N|1≤k≤n}为{1，…，n}是方便的.关于对等的第一个观察是，对任何自然数n和m，集合{1，…，n+m}与集合{1，…，n}不对等.该观察常称为鸽笼原理，可用关于n的归纳法证明（见习题21）.
定义 集合E称为是有限的，若它或者是空集，或者存在自然数n使得E与{1,…,n}对等.我们说E是可数无穷的，若E与自然数集N对等.有限或可数无穷的集合称为可数集.不是可数的集合称为不可数集.
观察到若一个集与可数集对等，则它是可数的.在下面定理的证明中我们将用鸽笼原理和定理1，它告诉我们每个非空自然数集有一个最小元或首元.
定理3 可数集的子集是可数的.特别是，每个自然数集是可数的.
证明 令B为可数集而A是B的一个非空子集.首先考虑B是有限的情形.令f为{1,…,n}与B之间的一一对应.定义g（1）为第一个使得f（j）属于A的自然数j，1≤j≤n.由于fog是{1}与A之间的一一对应，若A={f（g（1））}，证明完成.否则，定义g（2）为使得f（j）属于A~{f（g（1））}的第一个自然数j，1≤j≤n.鸽笼原理告诉我们至多N步后该归纳选择过程终止，其中N≤n.因此fog是{1，…，N}与A之间的一一对应.于是A有限.
现在考虑B是可数无穷的情形.令f为N与B之间的一一对应.定义g（1）为第一个使得f（j）属于A的自然数j.如同第一种情形的证明，我们看到若该选择过程终止，则A是有限的.否则，该选择过程不终止而g在所有的N上恰当定义.显然fog是一一映射，其中定义域是N而象包含于A中.归纳论证表明对所有j，g（j）≥j.对每个x∈A，存在某个k使得x=f（k）.因此x属于集合{f（g（1）），…，f（g（k））}.因此fog的象是A.因此A是可数无穷.
推论4 下面的集合是可数无穷的：
（i） 对每个自然数n，笛卡儿积.
（ii） 有理数集Q.证明 我们对n=2证明（i），而一般情形留作归纳法的练习.定义从N×N到N的映射g为g（m，n）=（m+n）2+n.映射g是一对一的.事实上，若g（m，n）=g（m′，n′），则（m+n）2-（m′+n′）2=n′-n，因此
则自然数m+n+m′+n′大于自然数|n′-n|，这是不可能的.于是n=n′，因而m=m′.因此N×N与可数集N的子集g（N×N）对等.我们从前一个定理推出N×N是可数的.为证明Q的可数性，我们首先从素数分解定理推出每个正有理数x可唯一写成x=p/q，其中p和q是互素的自然数.对x=p/q>0定义从Q到N的映射g为g（x）=2（（p+q）^2+q），其中p和q是互素的自然数，g（0）=1，而对x<0，g（x）=g（-x）+1.我们将证明g是一对一的留作练习.于是Q与N的一个子集对等，因此根据前一个定理，是可数的.我们将用鸽笼原理证明N×N和Q都不是有限的留作练习.
对于可数无穷集X，我们说{xnn∈N}是X的一个列举，若
定理5 非空集是可数的当且仅当它是某个定义域为非空可数集的函数的象.
证明 令A为非空可数集，而f为将A映上B的映射.假定A是可数无穷的，而将有限的情形留作练习.通过A与N之间的一一对应的复合，我们可以假定A=N.定义A中的两点x，x′为等价的，若f(x)=f(x′).这是一个等价关系，即它是自反的、对称的与传递的.令E为A的子集，它由每个等价类的一个成员组成.则f在E的限制是E与B之间的一一对应.但E是N的子集，因此，根据定理3，是可数的.集合B与E对等，因此B是可数的.逆断言是显然的，若B是非空可数集，则它或者与自然数的一个初始部分对等，或者与自然数全体对等.
推论6 可数集的可数族的并是可数的.证明 令Λ为可数集且对每个λ∈Λ，令Eλ为可数集.我们将证明并E=是可数的.若E是空集，则它是可数的.因此我们假设E≠?.我们考虑Λ是可数无穷的情形，而将有限的情形留作练习.令{λn|n∈N}为Λ的一个列举.固定n∈N.若Eλn是有限且非空的，选取自然数N（n）与将{1，…,N(n)}映上Eλn的一一映射fn；若Eλn是可数无穷的，选取N映上Eλn的一一映射fn.定义E′={（n，k）∈N×N|Eλn是非空的，且若Eλn也是有限的，1≤k≤N（n）}定义E′到E的映射f为f（n，k）=fn（k）.则f是E′映上E的映射.然而，E′是可数集N×N的子集，因此，根据定理3，是可数的.定理5告诉我们E也是可数的.我们称实数的区间为退化的，若它是空的或包含一个单独的成员.
定理7 一个非退化实数区间是不可数的.
证明 令I为实数的非退化区间.显然I不是有限的.我们用反证法证明I是不可数的.假定I是可数无穷的.令{xn|n∈N}为I的一个列举.令［a1，b1］为I的不包含x1的非退化的闭有界子区间.接着令［a2，b2］为［a1，b1］的非退化的闭有界子区间，它不包含x2.我们归纳地选取非退化闭有界区间的可数族，对每个n，［
+1,bn+1］
［
，bn］，并使得对每个n，xn?［
，bn］.非空集E={
|n∈N}有上界b1.完备性公理告诉我们E有上确界.定义
=sup E.由于
是E的一个上界，对所有n，
≤
.另一方面，由于
是下降的，对每个n，bn是E的上界.于是，对每个n，
≤bn.因此对每个n，
属于［
，bn］.但
属于［a1，b1］
I，因此存在自然数n0使得
=xn0.由于
=xn0不属于［
0，bn0］，我们得到矛盾.因此，I是不可数的.
习题
16.证明整数集合Z是可数的.
17.证明一个集合A是可数的，当且仅当存在一个A到N的一一对应.
18.用归纳法完成推论4中（i）的证明.
19.在可数集的有限簇的情形证明推论6.
20.令f：A→B与g：B→C都是一对一与映上的.证明复合gof：A→B与逆f-1：B→A也是一对一与映上的.
21.用归纳法证明鸽笼原理.
22.证明自然数集的所有子集组成的集族2N是不可数的.
23.证明可数集的有限族的笛卡儿积是可数的.用前一个习题证明从N到N的所有映射族NN不是可数的.
24.证明实数的非退化区间不是有限的.
25.证明任何两个实数的非退化区间是对等的.
26.集合R×R是否与R对等？
1.4 实数的开集、闭集和Borel集
定义 一个实数的集合O称为开的，若对每个x∈O，存在r>0使得区间(x-r,x+r)包含于O.
对于a（a，∞）={x∈R|a命题8 实数集R和空集?是开的，任何开集的有限族的交是开的，任何开集族的并是开的.
证明 显然R和?是开的，而任何开集族的并是开的.令为R的开子集的有限族.若该族的交是空的，则交是空集，因此是开的.否则，令x属于
.对于1≤k≤n，选取rk>0使得
.定义r=min{r1，…，rn}.则r>0且（x-r,x+r）
.因此
是开的.然而，任何开集族的交是开的不成立.例如，对每个自然数n，令On为开区间（-1/n，1/n）.则根据R的Archimedeas性质，
，而{0}不是一个开集.
命题9 每个非空开集是可数个不交开区间族的并.
证明 令O为R的非空开子集.令x属于O.存在y>x使得（x，y）O，且存在zO.定义扩充的实数ax和bx为
则Ix=（ax，bx）是包含x的开区间.我们宣称
事实上，令w属于Ix，比如xw使得
，因而w∈O.此外，bx?O，因为若bx∈O，则对某个r>0我们有（bx-r，bx+r）
O.因此（x，bx+r）
O，与bx的定义矛盾.类似地，ax?O，考虑开区间族{Ix}x∈O.由于O中的每个x是Ix的成员，而每个Ix包含于O，我们有O=
.我们从（2）推出{Ix}x∈O是不交的.因此O是不交的开区间族的并.剩下来要证明该族是可数的.根据有理数的稠密性（定理2），这些开区间的每一个包含一个有理数.这建立了开区间族与有理数子集之间的一一对应.我们从定理3和推论4推出任何有理数集是可数的.因此O是可数个不交开区间族的并.
定义 对于实数集E，x称为E的闭包点,若每个包含x的开区间也包含E的点.E的全体闭包点称为E的闭包且记为.
显然我们总是有.若E包含它的所有闭包点，即
，则集合E称为闭的.
命题10 对于实数集E，它的闭包是闭的.此外，
在以下意义下是包含E的最小闭集：若F是闭的且
，则
.
证明 集合是闭的，若它包含所有闭包点.令x为
的闭包点.考虑包含x的开区间Ix.存在一个点
.由于x′是E的闭包点，且开区间Ix包含x′，存在点x″∈E∩Ix.因此每个包含x的开区间也包含E的点，且因此x∈
.所以集合
是闭的.显然，若
，则
，因此，若F是闭的且包含E，则
.
命题11 实数集是开的当且仅当它在R中的补是闭的.
证明 首先假定E是R的一个开子集.令x为R~E的闭包点.则x不属于E,因为否则就会有一个包含x且包含于E的开区间,因而与R~E不交.于是x属于R~E且因此R~E是闭的.现在假定R~E是闭的.17令x属于E.则必有包含x且包含于E的开区间，否则每个包含x的开区间包含R~E的点，且因此x是R~E的闭包点.由于R~E是闭的，x也属于R~E.这是一个矛盾.
由于R~［R~E］=E，从前一个命题得出一个集合是闭的当且仅当它的补是开的.因此，根据De Morg等式，命题8可用闭集重述如下.
命题12 空集∅和R是闭的，任何闭集的有限族的并是闭的，任何闭集族的交是闭的.集族称为是集合E的覆盖，若
.谈到E的覆盖的子覆盖，我们指的是该覆盖的子族自身也是E的一个覆盖.若覆盖中的每个集合Eλ是开的，我们称image.png为F的一个开覆盖.若覆盖image.png仅包含有限个集合，我们称它为有限覆盖.该术语是不一致的：“开覆盖”中的“开”指的是该覆盖的集合；“有限覆盖”中的“有限”指的是族而不是隐含该族中的集合是有限集.因此，术语“开覆盖”是语言的误用，而恰当的说法应该是“用开集覆盖”.遗憾的是，前一个术语已在数学中广泛使用.
Heine-Borel定理 令F为闭有界实数集.则F的每个开覆盖有一个有限子覆盖.
证明 我们首先考虑F是闭有界区间［a,b］的情形.令F为［a,b］的开覆盖.定义E为具有如下性质的区间［a,x］，即可被F的有限个集合覆盖的数x∈［a,b］的集合.由于ａ∈Ｅ，Ｅ是非空的.由于Ｅ有上界ｂ，根据Ｒ的完备性，Ｅ有上确界.定义ｃ＝sup E.由于ｃ属于［a,b］，存在O∈F包含ｃ.由于O是开的,存在ε＞0，使得区间（c-ε，c+ε）包含于O.现在c-ε不是E的上界，因而必有x∈E满足x>c-ε.由于x∈E，存在覆盖［a,x］的F中的集合的有限族{O1，…，Ok}.因此，有限族{O1，…，Ok，O}覆盖区间［a,c+ε).于是c=b，否则c现在令F为任何闭有界集，而是F的一个开覆盖.由于F是有界的，它包含于某个有界闭区间［a,b］.前一个命题告诉我们集合O＝Ｒ～Ｆ是开的，因为F是闭的.令
为添加O到
后得到的开集族，即
=
∪O.由于
覆盖Ｆ，
覆盖［a,b］.根据我们刚考虑的情形，存在
的有限子族覆盖［a,b］，因此也覆盖F.通过从F的这个有限子覆盖去掉O，若O属于该有限子覆盖，我们得到
中覆盖F的有限族.
我们说集合的可数族是下降的，若对每个自然数n，
.说它是上升的，若对每个自然数n,.
集套定理 令为下降的非空闭实数集的可数族,其中F1有界.则
证明 我们用反证法.假定交集是空的.则对每个实数x，存在自然数n使得ｘ∉Fn，即x∈On=Ｒ～Fn.因此.根据命题11，由于每个Fn是闭的，每个On是开的.因此
是R的一个开覆盖，从而也是F1的开覆盖.Heine-Borel定理告诉我们存在自然数N使得
.由于
是下降的，补集族
是上升的.因此=On=R~FN.因此
，这与FN是F1的非空子集的假设矛盾.
定义 给定集合X，X的子集族A称为（X的子集的）σ代数，若：（i）空集∅属于A；（ii）A中的集合在X中的补也属于A；（iii）A中集合的可数族的并也属于A.
给定集合X，族{∅，X}是一个σ代数，它有两个成员且它包含于每个X的子集的σ代数.另一个极端情形是X的所有子集组成的集族且包含每个X的子集的σ代数2^X.对任何σ代数A，我们从De Morg等式推出A关于属于A的集合的可数族的交封闭.此外，由于空集属于A,A关于属于A的集合的有限并与有限交封闭.我们也观察到σ代数关于相对补封闭，若A1和A2属于A，A1~A2=A1∩［X~A2］也如此.以下命题的证明直接从σ代数的定义得到.
命题13 令F为集合X的子集族.则所有包含F的X的子集的σ代数的交A是一个包含F的σ代数.此外，在任何包含F的σ代数也包含A的意义下，它是包含F的最小的X的子集的σ代数.
令为属于σ代数A的集合的可数族.由于A关于可数交与并封闭，以下两个集合属于A：
集合是对可数无穷多个指标n属于
的点的集合，而集合
是除指定至多有限多个指标n外属于
的点的集合.
虽然任何开集族的并是开的而有限个开集的交是开的，如同我们看到的，但是可数个开集的交不一定是开的.19在建立实直线上的Lebesgue测度与积分论时，我们将看到包含开集的实数集的最小σ代数是自然的研究对象.
定义 实数的Borel集族B是包含所有实数的开集的实数集的最小σ代数.
每个开集是Borel集，且由于σ代数关于补是封闭的，我们从命题11推出每个闭集是Borel集.因此，由于每个单点集是闭的，每个可数集是Borel集.开集的可数交称为Gδ集.闭集的可数并称为Fσ集.由于σ代数关于可数并与可数交封闭，每个Gδ集和每个Fσ集是Borel集.此外，开的或者闭的实数集的可数族的lim inf和lim sup都是Borel集.
27.有理数集是开集还是闭集？
28.哪些实数集既开又闭？
29.找到两个集合A和B使得A∩B＝∅而A∩B≠∅.
30.点ｘ称为集合E的聚点，若它是Ｅ～｛ｘ｝的闭包点.
（i） 证明E的聚点的集合E′是一个闭集.
（ii） 证明＝Ｅ∪Ｅ′.
31.点x称为集合E的孤立点，若存在ｒ＞０使得（ｘ-ｒ，ｘ＋ｒ）∩E＝{x}.证明：若集合由孤立点组成，则它是可数的.
32.点x称为集合E的内点，若存在ｒ＞０使得开区间（ｘ-ｒ，ｘ＋ｒ）包含于E.E的内点的集合称为E的内部，记为intE.证明：
（i） E是开的当且仅当Ｅ＝ｉｎｔＥ.
（ii） E是稠密的当且仅当ｉｎｔ（Ｒ～Ｅ）＝ ∅.
33.证明：若F1是*的，集套定理是错的.
34.证明Heine-Borel定理等价于实数的完备性公理.证明集套定理等价于实数的完备性公理.
35.证明Borel集族是包含闭集的最小σ代数.
36.证明Borel集族是包含形如［a,b)（其中a37.证明每个开集是一个Fσ集.
1.5 实数序列
实数序列是一个实值函数，其定义域是自然数集.习惯上我们不用标准的函数记号如f：N→R表示序列，而用下标代替f（n），将一个序列记为{
}.自然数n称为该序列的指标，对应于指标n的数
称为序列的第n项.正如同我们说实值函数是有界的，若它的象是有界实数集；我们说序列是有界的，若存在某个c≥0使得对所有n，|
|≤c.若对所有ｎ，
≤
+1，序列{
}称为是递增的；若{-
}是递增的，序列{
}称为是递减的；若它是递增的或者递减的，序列{
}则称为是单调的.
定义 我们说序列{}收敛到数a，若对每个ε>0，存在指标N，使得
我们称a为序列的极限且用
表示{}的收敛性.
我们将以下命题的证明留作练习.
命题14 令实数序列{}收敛到实数a.则极限是唯一的，该序列是有界的，且对实数c，
若对所有n， ≤c， 则a≤c
定理15（实数序列的单调收敛准则） 单调的实数序列收敛当且仅当它是有界的.
证明 令{}为递增序列.若该序列收敛，则根据前一个命题，它是有界的.现在假设{
}是有界的，根据完备性公理，集合S={
|n∈N}有上确界：定义a=sup S.我们宣称{
}→a.事实上，令ε>0.由于a是S的上界，对所有n，
≤a.由于a-ε不是S的上界，存在指标N，使得
>a-ε.由于该序列是递增的，对所有n≥N，
>a-ε.因此，若n≥N，则a-
<ε.因此{
}→a.序列递减情形的证明是相同的.
对于序列{}和严格递增的自然数序列{nk}，序列{
}的第k项是
并被称为{
}的一个子序列.
定理16（Bolzano-Weierstrass定理） 每个有界实数序列有一个收敛的子序列.
证明 令{}为有界实数序列.选取M≥0使得对所有n，|
|≤Ｍ.令n为自然数.定义
.则
且En是闭的，因为它是集合的闭包.因此，{En}是下降的R的非空闭有界子集序列.集套定理告诉我们
，选取
.对于每个自然数k，a是{aj|j≥k}的闭包点.因此，对于无穷多个指标ｊ≥n，aj属于（ａ-１／ｋ，ａ＋１／ｋ）.根据归纳法，选取严格递增的自然数序列{nk}使得对所有ｋ，|a-
|<1/k.我们从R的Archimedeas性质推出子序列{
}收敛到a.
定义 实数序列{}称为是Cauchy的，若对每个ε>0，存在指标N使得
定理17（实数序列的Cauchy收敛准则） 实数序列收敛当且仅当它是Cauchy的.
证明 首先假定{}→a.观察到对所有自然数n和m，
令ε>0.由于{}→a，我们可以选取一个自然数N使得若n≥N，则|
-ａ|<ε/2.我们从（5）推出若n，m≥N，则|am-
|＜ε.因此序列{
}是Cauchy的.为证明反命题，令{
}为Cauchy序列.我们宣称它是有界的.事实上，对ε=1，选取N使得若n，m≥N，则|am-
|＜1.因此，对所有n≥N，
定义M=1+max{a1，…,||}.则对所有n，|
|≤M.因此{
}是有界的.Bolzano-Weierstrass定理告诉我们存在收敛于a的子序列{
}.我们宣称整个序列收敛于a.事实上，令ε>0.由于{
}是Cauchy的，我们可以选取自然数N，使得
另外，由于{}→a，我们可以选取自然数nk，使得对nk≥N，|a-
|＜ε/2.因此，对所有n≥N，
定理18（实序列收敛的线性与单调性） 令{}和{bn}为收敛的实数序列.则对每对实数α和β，序列{α·
+β·bn}收敛且
此外，
证明 定义
观察到对所有ｎ，
令ε>0.选取自然数N使得对所有ｎ≥Ｎ，
我们从（8）推出对所有ｎ≥Ｎ，
因此（6）成立.为了验证（7），对所有n，设cn=bn-an与ｃ＝b-a.则对所有n，cn≥０，根据收敛的线性，{cn}→c.我们必须证明ｃ≥0.令ε>0.存在N使得对所有ｎ≥Ｎ，
-ε
特别地，0≤cN-ε,所以ｃ≥0.
对每个实数c，存在指标N使得n≥N时有≥c，则我们说序列{
}收敛到无穷，称∞为{
}的极限且记作
.收敛到-∞可做出类似的定义.有了这个扩充的收敛的概念，我们可以断言任何单调实数序列{
}（有界或*），收敛到某个扩充的实数，且因此
是适当定义的.
利用扩充的集合的上确界与下确界的概念以及任何单调的实数序列收敛的概念，我们可以得到以下定义.定义 令{}为实数序列.{
}的上极限，记为lim sup{
}，定义为
{}的下极限，记为lim inf{
}，定义为
我们将以下命题的证明留作练习.
命题19 令{an}和{bn}为实数序列.
（i）
当且仅当对每个ε>0，存在无穷多个指标n使得>
-ε，且仅有有限多个指标n使得
>
+ε.
（ii） lim sup{}=∞当且仅当{
}没有上界.
（iii）
（iv） 实数序列{}收敛到扩充的实数a当且仅当
（v） 若对所有n，an≤bn，则
对每个实数序列{ak}，对每个指标n对应着定义为的部分和序列{sn}.我们说级数
可和于实数s，若{sn}→s且写作
.
我们将以下命题的证明留作练习.
命题20 令{}为实数序列.
（i） 级数可和当且仅当对每个ε>0，存在指标N使得对ｎ≥Ｎ和任何自然数m,
（ii） 若级数可和，则
也是可和的.
（iii） 若每项ak非负，则级数可和当且仅当部分和序列是有界的.
38.我们称一个扩充的实数为序列{}的聚点，若子序列收敛到该扩充的实数.证明lim inf{
}是{
}的最小聚点，而lim sup{
}是{
}的最大聚点.
39.证明命题19.
40.证明序列{}收敛到一个扩充的实数当且仅当恰存在一个扩充的实数是该序列的聚点.
41.证明lim inf ≤lim sup
.
42.证明：若对所有n，an≥0且bn≥0，则
假定右边的乘积不是0·∞的形式.
43.证明每个实序列有一个单调的子序列.用此给出Bolzano-Weierstrass定理的另一个证明.
44.令ｐ为大于１的自然数，而ｘ是实数，0≤x≤1.证明存在整数序列{}满足对每个n,0≤
且该序列是唯一的,除了x形如外——在这种情形恰有两个这样的序列.反过来，证明：若{
}是任何满足0≤
收敛到实数ｘ，其中0≤x≤1.若ｐ＝10，该序列称为x的十进制展开.对于ｐ＝２，称为二进制展开；对于ｐ＝３，称为三进制展开.
45.证明命题20.
46.证明Bolzano-Weierstrass定理的断言等价于实数的完备性公理.证明单调收敛定理的断言等价于实数的完备性公理.
1.6 实变量的连续实值函数
令f为定义在实数集E上的实值函数.我们说f在E中的点x连续，若对每个ε>0，存在δ>0，使得
称函数f（在Ｅ上）连续，若它在其定义域Ｅ的每一点是连续的.函数ｆ称为是Lipschitz的，若存在c≥0，使得
显然一个Lipschitz函数是连续的.事实上，对于数ｘ∈Ｅ和任何ε>0，δ＝ε/c对应关于f在x连续的准则的ε挑战.不是所有连续函数都是Lipschitz的.例如，若对于０≤ｘ≤１，f（x）= ，则f在［0,1］上是连续的，但不是Lipschitz的.
我们将以下用序列的收敛性刻画在一个点的连续性的命题的证明留作练习.
命题21 定义在实数集E上的实值函数f在点x.∈Ｅ连续，当且仅当Ｅ中的序列{xn}收敛到x.，它的象序列{f（xn）}收敛到f（x.）.我们有以下函数在其定义域上连续的刻画.
命题22 令f为定义在实数集E上的实值函数.则f在E上连续当且仅当对每个开集O，
证明 首先假设任何开集在ｆ的原象是定义域与一个开集的交.令x属于E.为证明f在x连续，令ε>0.区间I=（ｆ（ｘ）-ε，ｆ（ｘ）＋ε）是一个开集.因此，存在开集U使得
特别地，f（E∩U）I且x属于E∩U.由于U是开的，存在δ>0使得（x-δ，x+δ）
U.于是，若ｘ′∈E且ｘ′-ｘ<δ，则ｆ（ｘ′）-ｆ（ｘ）＜ε.因此f在x连续.
假定现在f是连续的.令O为开集而x属于f-1（O）.则ｆ（ｘ）属于开集O，使得存在ε>0，满足（ｆ（ｘ）-ε，ｆ（ｘ）＋ε）O.由于f在x连续，存在δ>0使得若ｘ′属于E且ｘ′-ｘ<δ，则ｆ（ｘ′）-ｆ（ｘ）＜ε.定义Ix＝（ｘ-δ，ｘ＋δ）.则f（E∩Ix）
O.定义
由于U是开集的并，它是开的.它已被构造使得（９）成立.
极值定理 定义在非空闭有界实数集上的连续实值函数取得最小值与最大值.
证明 令f为非空闭有界实数集E上的连续实值函数.我们首先证明f在E上有界，即存在实数M，使得
令x属于E.令δ＞０对应关于f在x连续的准则的ε=1挑战.定义Ix＝（ｘ-δ，ｘ＋δ）.因此，若ｘ′属于Ｅ∩Ix，则ｆ（ｘ′）-ｆ（ｘ）＜１，因而ｆ（ｘ′）≤ｆ（ｘ）＋１.集族{Ixk}x∈E是Ｅ的开覆盖.Ｈｅｉｎｅ-Ｂｏｒｅｌ定理告诉我们Ｅ中存在有限个点{x1，…，xn}使得{Ixk}nk=1也覆盖E.定义Ｍ＝１＋max{f（x1），…，f（xn）}.我们宣称（１０）对E的这个选取成立.事实上，令x属于E.存在指标k使得x属于Ixk，因此ｆ（ｘ）≤1+f（xk）≤Ｍ.为看到ｆ在Ｅ上取到最大值，定义ｍ＝ｓｕｐｆ（Ｅ）.若f在Ｅ上取不到值ｍ，则函数x1/(f(x)-m)（x∈E）是Ｅ上的*连续函数.这与我们刚证明的矛盾.因此，f取到Ｅ的最大值.由于-f是连续的，-f取得最大值，即f在E上取到最小值.
介值定理 令f为闭有界区间［ａ，ｂ］上的连续实值函数，使得f（a）证明 我们将归纳地定义一个下降的闭区间的可数族，其交由单点x0∈（a,b）构成，在该点f（x0）=c.定义a1＝ａ与b1＝ｂ.考虑［a1，b1］的中点m1.若c，使得对所有n
根据集套定理，是非空的.选取x0属于
.观察到对所有n，
因此{}→x0.根据f在x0的连续性，{f（
）}→f（x0）.由于对所有n，f（
）≤c，且集合（-∞，c］是闭的，f（x0）≤c.用类似的方法，f（x0）≥c.因此f（x0）=c.
定义 定义在实数集E上的实值函数f称为是一致连续的，若对每个ε>0，存在δ>0使得对E中的所有ｘ,ｘ′，
定理23 闭有界实数集上的连续实值函数是一致连续的.
证明 令f为闭有界实数集E上的连续实值函数.令ε>0.对每个ｘ∈E，存在δx>0使得若ｘ′∈E且|ｘ′-ｘ|＜δx，则|ｆ（ｘ′）-ｆ（ｘ）|＜ε/2.定义Ix为开区间（x-δx/2，x+δx/2）.则{Ix}x∈E是E的开覆盖.根据Heine-Borel定理，存在覆盖E的有限子族{Ix1，…，Ixn}.定义
我们宣称该δ>0对应关于f在E上一致连续的准则的ε>0挑战.事实上，令ｘ和ｘ′属于E满足|ｘ-ｘ′|＜δ.由于{Ix1，…，Ixn}覆盖Ｅ，存在指标ｋ使得|ｘ-xk|＜/2.由于|ｘ-ｘ′|＜δ≤
/2，因此
根据的定义，由于|ｘ-xk|＜
且|ｘ′-xk|＜
，我们有|ｆ（ｘ）-ｆ（xk）|＜ε/2与|ｆ（ｘ′）-ｆ（xk）|＜ε/2.因此
定义 定义在实数集E上的实值函数f称为是递增的，若ｘ,ｘ′属于E且x≤x′时，f（x）≤f(x′)；称为是递减的，若-f是递增的;称为是单调的，若它是递增的或递减的.
令f为定义在包含点x0的开区间Ｉ上的单调实值函数.我们从定理15和它的证明中推出，若{xn}是I∩（x0，∞）中的递减序列，收敛到x0,则序列{f（xn）}收敛到实数且极限与序列{xn}的选取无关.我们将极限记为.类似地，我们定义
.则显然地f在x0连续当且仅当
.若f在x0不连续，则f的象中落在
与
之间的唯一点是f（x0），而f称为在x0有跳跃的不连续性.因此，根据介值定理，开区间上的单调函数是连续的当且仅当它的象是一个区间（见习题55）
47.令E为闭实数集而f是在E上定义且连续的实值函数.证明存在定义在整个R上的函数g使得对每个x∈E，f（x）=g（x）.（提示：取g在组成R~E的每个区间上是线性的.）
48.定义R上的实值函数f为
f在什么点连续?
49.令f和ｇ为具有公共定义域Ｅ的连续实值函数.
（i） 证明和f+g，积fg也是连续函数.
（ii） 若h是象包含于E的连续函数，证明复合f·h是连续的.
（iii） 令max{f，g}是定义为max{f，g}（x）=max{f（x），g（x）}（x∈E）的函数.证明max{f，g}是连续的.
（iv） 证明|f|是连续的.
50.证明Lipschitz函数是一致连续的，但存在不是Lipschitz的一致连续函数.
51.［a,b］上的连续函数φ称为分段线性的，若存在［a,b］的分划a=x052.证明非空实数集Ｅ是闭与有界的当且仅当Ｅ上的每个连续实值函数取到最大值.
53.证明实数集E是闭与有界的当且仅当Ｅ的每个开覆盖有有限子覆盖.
54.证明非空实数集E是一个区间当且仅当Ｅ上的每个连续实值函数有区间作为它的象.
55.证明开区间上的单调函数是连续的当且仅当它的象是一个区间.
56.令ｆ为定义在Ｒ上的实值函数.证明使得ｆ连续的点的集合是Gσ集.
57.令{fn}为定义在Ｒ上的连续函数序列.证明使得序列{fn（x）}收敛到实数的那些点x的集合是Fσ集的可数族的交.
58.令f为定义在R上的连续实值函数.证明开集关于f的原象是开的，闭集的原象是闭的，且Borel集的原象是Borel集.
59.定义在集合Ｅ上的实值函数序列{fn}称为在Ｅ上一致收敛到函数ｆ，若给定ε>0，存在Ｎ使得对所有x∈E和n≥N，我们有|fn（ｘ）-ｆ（ｘ）|＜ε.令{fn}为定义在集合Ｅ上的连续函数序列.证明：若在Ｅ上{fn}一致收敛于ｆ，则ｆ在Ｅ上连续.
60.证明命题21.运用这个命题和Bolzano-Weierstrass定理提供极值定理的另一个证明.