参考

https://zhidao.baidu.com/question/1372718077326920059.html

分析

如果A+B可逆，那么设它的逆为C矩阵,E为单位矩阵，求解：

\[(A+B)C=E \\ C(A+B)=E \]

即可

\[ (A+B)B^{-1}(A^{-1}B^{-1})^{-1}A^{-1} \\ = (AB^{-1}+I)\{A(A^{-1}+B^{-1})\}^{-1} \\ = (I+AB^{-1})(I+AB^{-1})^{-1} = I \\ and \\ B^{-1}(A^{-1}B^{-1})^{-1}A^{-1}(A+B) \\ =\{(A^{-1}+B^{-1})B\}^{-1}(I+A^{-1}B) \\ =(A^{-1}B+I)^{-1}(A^{-1}B+I) =I \]

所以\((A+B)^{-1}=C=B^{-1}(A^{-1}+B^{-1})^{-1}A^{-1}\)