正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/CF1039D

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题目大意

给出\(n\)个点的一棵树，然后对于\(k\in[1,n]\)求每次使用一条长度为\(k\)的链覆盖树并且不能重复覆盖点时最大覆盖条数。

\(1\leq n\leq 10^5\)

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解题思路

先考虑暴力怎么做，因为每条链的价值都是一，显然的一种贪心思想是能合并的就合并（没有让出一条链给另一条链腾空间的必要）。

这样的复杂度是\(O(n)\)的，但是对于每个都要求所以需要优化。

之后考虑上根号分治，对于一个\(k\)的答案显然不会超过\(\frac{n}{k}\)，所以可以当\(k\leq \sqrt n\)的时候暴力做，然后由于答案递增，大于\(\sqrt n\)的\(k\)答案的取值不会超过\(\sqrt n\)，每次二分断点即可。时间复杂度\(O(n\sqrt n\log n)\)。

其实发现这样还是不够快，可以找到一个更好的阈值，设为\(T\)，那么前面的复杂度就是\(T\)，后面的复杂度就是\(\frac{n}{T}\log n\)，用平衡规划的思想当\(T=\frac{n}{T}\log n\)时最快，也就是\(T=\sqrt{n\log n}\)时最快了。

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
struct node{
	int to,next;
}a[N<<1];
int n,tot,cnt,dfn[N],ls[N],fa[N],f[N];
void addl(int x,int y){
	a[++tot].to=y;
	a[tot].next=ls[x];
	ls[x]=tot;return;
}
void dfs(int x){
	dfn[++cnt]=x;
	for(int i=ls[x];i;i=a[i].next){
		int y=a[i].to;
		if(y==fa[x])continue;
		fa[y]=x;dfs(y);
	}
	return;
}
int solve(int k){
	if(k==1)return n;
	int ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)f[i]=1;
	for(int i=n;i>=1;i--){
		int x=dfn[i];
		if(f[x]&&f[fa[x]]){
			if(f[x]+f[fa[x]]>=k)
				ans++,f[fa[x]]=0;
			else f[fa[x]]=max(f[fa[x]],f[x]+1);
		}
	}
	return ans;
}
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<n;i++){
		int x,y;
		scanf("%d%d",&x,&y);
		addl(x,y);addl(y,x);
	}
	dfs(1);
	int T=sqrt((double)n*(log(n)/log(2))),last,z=T+1;
	for(int i=1;i<=T;i++)printf("%d\n",last=solve(i));
	while(z<=n){
		int l=z+1,r=n,k=solve(z);
		while(l<=r){
			int mid=(l+r)>>1;
			if(solve(mid)<k)r=mid-1;
			else l=mid+1;
		}
		for(int i=z;i<=r;i++)
			printf("%d\n",k);
		z=r+1;
	}
	return 0;
}