1 树类型

树中的基本概念：https://jingzh.blog.csdn.net/article/details/107128291
树类型概述：
二叉树，完全二叉树，满二叉树，二叉排序树，平衡二叉树，红黑树，B数，B-树，B+树，B*树

1.1 二叉树

二叉树：二叉树是每个节点最多有两个子树的树结构；
是n(n>=0)个结点的有限集合，它或者是空树（n=0），或者是由一个根结点及两颗互不相交的、分别称为左子树和右子树的二叉树所组成

二叉树特点：

• 每个结点最多有两颗子树，所以二叉树中不存在度(结点拥有的子树数目称为结点的度)大于2的结点
• 左子树和右子树是有顺序的，次序不能任意颠倒
• 即使树中某结点只有一棵子树，也要区分它是左子树还是右子树

1.2 完全二叉树

完全二叉树：除最后一层外，每一层上的结点数均达到最大值；在最后一层上只缺少右边的若干结点

完全二叉树特点：

• 叶子结点只能出现在最下层和次下层。
• 最下层的叶子结点集中在树的左部。
• 倒数第二层若存在叶子结点，一定在右部连续位置。
• 如果结点度为1，则该结点只有左孩子，即没有右子树。
• 同样结点数目的二叉树，完全二叉树深度最小

1.3 满二叉树

除最后一层无任何子节点外，每一层上的所有结点都有两个子结点的二叉树

满二叉树特点：

• 叶子只能出现在最下一层。出现在其它层就不可能达成平衡。
• 非叶子结点的度(结点拥有的子树数目称为结点的度)一定是2
• 在同样深度的二叉树中，满二叉树的结点个数最多，叶子数最多

1.4 二叉搜索树（二叉排序树、二叉查找树）

二叉排序树：可以为空树，或者是具备如下性质：若它的左子树不空，则左子树上的所有结点的值均小于根节点的值；若它的右子树不空，则右子树上的所有结点的值均大于根节点的值，左右子树分别为二叉排序树。
如下图所示：

但是还有一种特殊情况：

这种情况下，二叉搜索树已经变更为链表，搜索一个元素的时间复杂度也变成了O(n)出现这种情况的原因是二叉搜索树没有自平衡的机制，所以就有了平衡二叉树

1.5 平衡二叉树

平衡二叉树是一种概念，是二叉查找树的一个进化体，它有几种实现方式：红黑树、AVL树
它是一个空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是平衡二叉树，如果插入或者删除一个节点使得高度之差大于1，就要进行节点之间的旋转，将二叉树重新维持在一个平衡状态。

这个方案很好的解决了二叉查找树退化成链表的问题，把插入，查找，删除的时间复杂度最好情况和最坏情况都维持在O(logN)。但是频繁旋转会使插入和删除牺牲掉O(logN)左右的时间，不过相对二叉查找树来说，时间上稳定了很多

1.6 红黑树

1.6.1 红黑树概念

红黑树是一种平衡二叉查找树的变体，它的左右子树高差有可能大于1，所以红黑树不是严格意义上的平衡二叉树（AVL），但对之进行平衡的代价较低， 其平均统计性能要强于 AVL

红黑树的特性：

• 每个节点或者是黑色，或者是红色
• 根节点是黑色
• 每个叶结点是黑色
• 如果一个节点是红色的，则它的子节点必须是黑色的，红色节点的孩子和父亲都不能是红色。从每个叶子到根的所有路径上不能有两个连续的红色节点，任意一结点到每个叶子结点的路径都包含数量相同的黑结点。确保没有一条路径会比其他路径长出俩倍。因而，红黑树是相对接*衡的二叉树，并不是一个完美平衡二叉查找树

1.6.2 红黑树和AVL树区别

红黑树和AVL树区别
RB-Tree和AVL树作为二叉搜索树(BBST)，其实现的算法时间复杂度相同，AVL作为最先提出的BBST，貌似RB-tree实现的功能都可以用AVL树是代替，那么为什么还需要引入RB-Tree呢

• 红黑树不追求完全平衡，即不像AVL那样要求节点的 高度差的绝对值 <= 1，它只要求部分达到平衡，但是提出了为节点增加颜色，红黑是用非严格的平衡来换取增删节点时候旋转次数的降低，任何不平衡都会在三次旋转之内解决，而AVL是严格平衡树，因此在增加或者删除节点的时候，根据不同情况，旋转的次数比红黑树要多
• 就插入节点导致树失衡的情况，AVL和RB-Tree都是最多两次树旋转来实现复衡rebalance，旋转的量级是O(1)
• 删除节点导致失衡，AVL需要维护从被删除节点到根节点root这条路径上所有节点的平衡，旋转的量级为O(logN)，而RB-Tree最多只需要旋转3次实现复衡，只需O(1)，所以说RB-Tree删除节点的rebalance的效率更高，开销更小
• AVL的结构相较于RB-Tree更为平衡，插入和删除引起失衡，RB-Tree复衡效率更高；当然，由于AVL高度平衡，因此AVL的Search效率更高
• 针对插入和删除节点导致失衡后的rebalance操作，红黑树能够提供一个比较便宜的解决方案，降低开销，是对search，insert ，以及delete效率的折衷，总体来说，RB-Tree的统计性能高于AVL
• 故引入RB-Tree是功能、性能、空间开销的折中结果
  AVL更平衡，结构上更加直观，时间效能针对读取而言更高；维护稍慢，空间开销较大。
  红黑树，读取略逊于AVL，维护强于AVL，空间开销与AVL类似，内容极多时略优于AVL，维护优于AVL。

总结：实际应用中，若搜索的次数远远大于插入和删除，那么选择AVL，如果搜索，插入删除次数几乎差不多，应该选择RB-Tree

1.7 B树类型

1.7.1 B树

一种平衡的多叉树，称为B树（或B-树、B_树）

一棵m阶B树(m阶数：表示此树的结点最多有多少个孩子结点(子树))是一棵平衡的m路搜索树。它或者是空树，或者是满足下列性质的树：

1. 根结点至少有两个子女；
2. 每个非根节点所包含的关键字个数 j 满足：┌m/2┐ - 1 <= j <= m - 1；
3. 除根结点以外的所有结点(不包括叶子结点)的度数正好是关键字总数加1，故内部子树个数 k 满足：┌m/2┐ <= k <= m ；
4. 所有的叶子结点都位于同一层。

简单理解为：平衡多叉树为B树（每一个子节点上都是有数据的），叶子节点之间无指针相邻

B树的搜索，从根结点开始，如果查询的关键字与结点的关键字相等，那么就命中；否则，如果查询关键字比结点关键字小，就进入左儿子；如果比结点关键字大，就进入右儿子；如果左儿子或右儿子的指针为空，则报告找不到相应的关键字；

如果B树的所有非叶子结点的左右子树的结点数目均保持差不多（平衡），那么B树的搜索性能逼近二分查找；但它比连续内存空间的二分查找的优点是，改变B树结构（插入与删除结点）不需要移动大段的内存数据，甚至通常是常数开销；但B树在经过多次插入与删除后，有可能导致不同的结构

1.7.2 B-树

B-树是一种多路搜索树（并不是二叉的）：

1. 定义任意非叶子结点最多只有M个儿子；且M>2；
2. 根结点的儿子数为[2, M]；
3. 除根结点以外的非叶子结点的儿子数为[M/2, M]；
4. 每个结点存放至少M/2-1（取上整）和至多M-1个关键字；（至少2个关键字）
5. 非叶子结点的关键字个数=指向儿子的指针个数-1；
6. 非叶子结点的关键字：K[1], K[2], …, K[M-1]；且K[i] < K[i+1]；
7. 非叶子结点的指针：P[1], P[2], …, P[M]；其中P[1]指向关键字小于K[1]的子树，P[M]指向关键字大于K[M-1]的子树，其它P[i]指向关键字属于(K[i-1], K[i])的子树；
8. 所有叶子结点位于同一层；

B-树的搜索，从根结点开始，对结点内的关键字（有序）序列进行二分查找，如果命中则结束，否则进入查询关键字所属范围的儿子结点；重复，直到所对应的儿子指针为空，或已经是叶子结点；

B-树的特性：

1. 关键字集合分布在整颗树中；
2. 任何一个关键字出现且只出现在一个结点中；
3. 搜索有可能在非叶子结点结束；
4. 其搜索性能等价于在关键字全集内做一次二分查找；
5. 自动层次控制；

由于限制了除根结点以外的非叶子结点，至少含有M/2个儿子，确保了结点的至少利用率，其最底搜索性能为：

其中，M为设定的非叶子结点最多子树个数，N为关键字总数；
所以B-树的性能总是等价于二分查找（与M值无关），也就没有B树平衡的问题；

由于M/2的限制，在插入结点时，如果结点已满，需要将结点分裂为两个各占M/2的结点；删除结点时，需将两个不足M/2的兄弟结点合并；

1.7.3 B+树

B+树是B树的一种变形形式，B+树上的叶子结点存储关键字以及相应记录的地址，叶子结点以上各层作为索引使用。一棵m阶的B+树定义如下

1. 每个结点至多有m个子女；
2. 除根结点外，每个结点至少有[m/2]个子女，根结点至少有两个子女；
3. 有k个子女的结点必有k个关键字

B+树的查找与B树不同，当索引部分某个结点的关键字与所查的关键字相等时，并不停止查找，应继续沿着这个关键字左边的指针向下，一直查到该关键字所在的叶子结点为止。

1.7.4 B*树

B*树是B+树的变体，在B+树的非根和非叶子结点再增加指向兄弟的指针；
B*树定义了非叶子结点关键字个数至少为(2/3)*M，即块的最低使用率为2/3(代替B+树的1/2)；

B+树的分裂：当一个结点满时，分配一个新的结点，并将原结点中1/2的数据复制到新结点，最后在父结点中增加新结点的指针；B+树的分裂只影响原结点和父结点，而不会影响兄弟结点，所以它不需要指向兄弟的指针；

B*树的分裂：当一个结点满时，如果它的下一个兄弟结点未满，那么将一部分数据移到兄弟结点中，再在原结点插入关键字，最后修改父结点中兄弟结点的关键字（因为兄弟结点的关键字范围改变了）；如果兄弟也满了，则在原结点与兄弟结点之间增加新结点，并各复制1/3的数据到新结点，最后在父结点增加新结点的指针；所以，B*树分配新结点的概率比B+树要低，空间使用率更高

B树类型总结：

• B树：二叉树，每个结点只存储一个关键字，等于则命中，小于走左结点，大于走右结点；
• B-树：多路搜索树，每个结点存储M/2到M个关键字，非叶子结点存储指向关键字范围的子结点；所有关键字在整颗树中出现，且只出现一次，非叶子结点可以命中；
• B+树：在B-树基础上，为叶子结点增加链表指针，所有关键字都在叶子结点中出现，非叶子结点作为叶子结点的索引；B+树总是到叶子结点才命中；
• B*树：在B+树基础上，为非叶子结点也增加链表指针，将结点的最低利用率从1/2提高到2/3

二叉树各种类型汇总