Cesium 矩阵变换

在Cesium和其他三维开发中中经常用到矩阵变换。比如将一个物体移动、缩放、平移都可以用变换矩阵来计算。

再比如将三维场景中的物体转换为屏幕上显示的二维图形,需要用到透视投影(perspective projection)矩阵。

变换(tansformation)是一个函数,实现将一个空间坐标映射为另一个空间坐标,矩阵(matrix)是这种计算的一种方式,在三维开发中用途广泛。

一、向量

1.1、向量的基本概念

向量又称为矢量(vector),表示既有大小又有方向的量。在物理学中,力,速度,位移等都可以用向量来表示。

 

 

向量通常用一个有向线段表示。

Cesium 矩阵变换

1.2、向量的加法

向量的加法运算符合平行四边形法则。

设向量a(x1,y1,z1)b(x2,y2,z2),则

a+b =(x1+x2,y1+y2,z1+z2)

Cesium 矩阵变换

1.3、向量的长度

向量的大小,也就是向量的长度(magnitude),也称为模,是一个标量。

设向量a(x,y),则向量a的长度记为|a|,公式如下,三维向量的公式同理。 

Cesium 矩阵变换

Cesium 矩阵变换

1.4、归一化向量

向量的归一化就是把向量的长度变为1,方向保持不变。公式为:

Cesium 矩阵变换

 

 

 向量v称为u的归一化(normalization)向量。

 

 

1.5、向量的点积和投影

 

 向量的点积(dot product)又称为数量积(scalar product)或内积(inner product)。

向量的点积是一个标量,也就是一个数值。

设向量a,b,向量a和向量b的夹角,0≤θ≤π,则向量的点积公式如下:

Cesium 矩阵变换 

设向量a(x1,y1,z1)b(x2,y2,z2),则

a·b=x1*x2+y1*y2+z1*z2

如果a·b=0,则成ab是正交的。

|OB1| =|b|cosθ ,|OB1| 称为b在向量方向上的投影。

投影向量如下,很容易推导。

Cesium 矩阵变换

 

Cesium 矩阵变换 

1.6、向量叉积

向量的叉积(cross product),又称外积(outer product)

设向量a和b的叉积为n,则n与a和b都正交,向量a,b和n构成一个右手坐标系(right-handed coordinate system)

叉积n的长度为:

Cesium 矩阵变换

设向量a(xa,ya,zab(xb,yb,zb),则 

Cesium 矩阵变换 

Cesium 矩阵变换  

二、矩阵

2.1、矩阵的基本概念

由 m × n 个数aij排成的m行n列的数表称为m行n列的矩阵,简称m × n矩阵(引用百度百科)。记作:

Cesium 矩阵变换

这m×n 个数称为矩阵A的元素,简称为元,数aij位于矩阵A的第i行第j列。

(1)矩阵的加法

同型矩阵之间才可以进行相加。减法同理,就是对应元素相减。

Cesium 矩阵变换

(2)单位矩阵

一个矩阵,从左上角到右下角的对角线(称为主对角线)上的元素均为1。除此以外全都为0,称为单位矩阵,通常记为E。

任何矩阵与单位矩阵相乘都等于本身。

Cesium 矩阵变换 

 

 

(3)矩阵的转置

把矩阵A的行和列互相交换所产生的矩阵称为A的转置矩阵这一过程称为矩阵的转置。

Cesium 矩阵变换Cesium 矩阵变换

(4)逆矩阵

A是一个n阶矩阵,若存在另一个n阶矩阵B,使得: AB=BA=,则称方阵A可逆,并称方阵B是A的逆矩阵,B=A-1

 

 

(5)矩阵乘法

两个矩阵相乘在三维变换中极为重要。

两个矩阵的乘法仅当第一个矩阵A的列数和另一个矩阵B的行数相等时才能定义。

比如一个4×4矩阵和4×1矩阵相乘得到的是一个4×1矩阵。

Cesium 矩阵变换

 

 

 Cesium 矩阵变换

矩阵的乘法满足以下运算律:
结合律:   (AB)C=A(BC) 
Cesium 矩阵变换
左分配律:(A+B)C=AC+BC
Cesium 矩阵变换
右分配律:C(A+B)=CA+CB
矩阵不满足交换律 ,也就是AB != BA,这个在后面介绍的矩阵变换后会有直观的感受。
Cesium 矩阵变换

 

 

在三维开发中经常用到矩阵和矢量相乘,点和向量都可以用一个列矩阵来表示。

比如将一个空间中的点P(x,y,z)左乘一个3?3的矩阵得到新的坐标P1(x‘,y‘,z‘)。

 Cesium 矩阵变换

 Cesium 矩阵变换

 

 

2.2、平移变换

平移(translation)变换是把空间中一个点沿着给定的方向移动固定的距离,设位移向量d,点P移动后P1,则 P1=P+d;

如果用齐次坐标(homogeneous coordinate)表示点和向量(齐次坐标的概念请自行查阅资料学习),

设点P(x,y,z,1),点P1(x‘,y‘,z‘,1),向量d=(tx,ty,tz,0),则

x‘=x+tx

y‘=y+ty

z‘=z+tz

表示成矩阵形式如下:

Cesium 矩阵变换

平移变换矩阵即为:

 

Cesium 矩阵变换

 

 

 

2.3、旋转

计算点p绕着z轴旋转θ角后的p‘的坐标,r为OP的长度。

x=rcosA

y=rsinA

x‘=rcos(A+θ)

y‘=rsin(A+θ)

利用两角和的三角函数公式可得到

x‘=xcosθ - ysinθ

y‘=xsinθ + ycosθ

z‘=z

用矩阵表示,绕Z轴旋转的变换矩阵为:

Cesium 矩阵变换

 

 

 绕X轴旋转的变换矩阵为:

Cesium 矩阵变换

 

 

 

绕Y轴变换的矩阵 

Cesium 矩阵变换

 

 

 

2.4、缩放

假设在X轴,Y轴,Z轴上的缩放因子分别为Sx,Sy,S

 

 

 

 

2.6、模型视图投影矩阵

这个以后再说

三、Cesium中的坐标系

Cesium中的地球默认采用的是WGS84坐标系。

Cesium 矩阵变换

 

 

 

 

 

四、Cesium中的矩阵变换

五、相关示例

 

Cesium 矩阵变换

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