BZOJ 3884 上帝与集合的正确用法

Description

根据一些书上的记载,上帝的一次失败的创世经历是这样的:

第一天, 上帝创造了一个世界的基本元素,称做“元”。

第二天, 上帝创造了一个新的元素,称作“\(\alpha\)”。“\(\alpha\)被定义为“元”构成的集合。容易发现,一共有两种不同的“\(\alpha\)”。

第三天, 上帝又创造了一个新的元素,称作“\(\beta\)”。“\(\beta\)”被定义为“\(\alpha\)”构成的集合。容易发现,一共有四种不同的“\(\beta\)”。

第四天, 上帝创造了新的元素“\(\gamma\)”,“\(\gamma\)”被定义为“\(\beta\)”的集合。显然,一共会有\(16\)种不同的“\(\gamma\)”。

如果按照这样下去,上帝创造的第四种元素将会有65536种,第五种元素将会有\(2^{65536}\)种。这将会是一个天文数字。

然而,上帝并没有预料到元素种类数的增长是如此的迅速。他想要让世界的元素丰富起来,因此,日复一日,年复一年,他重复地创造着新的元素……

然而不久,当上帝创造出最后一种元素“\(\theta\)”时,他发现这世界的元素实在是太多了,以致于世界的容量不足,无法承受。因此在这一天,上帝毁灭了世界。

至今,上帝仍记得那次失败的创世经历,现在他想问问你,他最后一次创造的元素“\(\theta\)”一共有多少种?

上帝觉得这个数字可能过于巨大而无法表示出来,因此你只需要回答这个数对\(p\)取模后的值即可。

你可以认为上帝从“\(\alpha\)”到“\(\theta\)”一共创造了\(10^{9}\)次元素,或\(10^{18}\)次,或者干脆\(\infty\)次。

一句话题意:

BZOJ 3884 上帝与集合的正确用法

Input

接下来\(T\)行,每行一个正整数\(p\),代表你需要取模的值

Output

\(T\)行,每行一个正整数,为答案对\(p\)取模后的值

Sample Input

3

2

3

6

Sample Output

0

1

4

HINT

对于\(100\%\)的数据,\(T \le 1000,p \le 10^{7}\)

对于此题一个重要的定理:

当\(b \ge \phi(c)\)

\[a^{b} \equiv a^{b \; mod \; \phi(c)+\phi(c)}(mod \; c)
\]

因为指数为无限项,恒有\(b \ge \phi(c)\),所以根据这个定理,我们就可以做题了。

\[f(c)=2^{2^{2^{2^{...}}}} mod \; c
\]

则有

\[f(c)=2^{2^{2^{2^{...}}} \; mod \; \phi(c) + \phi(c)}\; mod \; c=2^{f(\phi(c))+\phi(c)}
\]

递归边界:

\[f(1)=0
\]

所以这题就可以做了。

~~我深深感觉到了自己数学的弱菜,只知道定理却不会用。恶补数学ing~~

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<map>
using namespace std; typedef long long ll;
map <int,int> M; inline ll qsm(ll a,ll b,ll c)
{
ll ret = 1;
for (;b;b >>= 1,(a *= a)%=c)
if (b & 1) (ret *= a)%=c;
return ret;
} inline ll phi(ll n)
{
ll ret = n;
for (ll i = 2;i*i <= n;++i)
{
if (n % i == 0)
{
while (n % i == 0) n /= i;
ret /= i; ret *= i-1;
}
}
if (n > 1) ret /= n,ret *= n-1;
return ret;
} inline ll calc(ll n)
{
if (M.count(n)) return M[n];
ll p = phi(n);
return M[n] = qsm(2,calc(p)+p,n);
} int main()
{
freopen("3884.in","r",stdin);
freopen("3884.out","w",stdout);
ll T; scanf("%lld",&T);
M[1] = 0;
while (T--)
{
ll n; scanf("%lld",&n);
printf("%lld\n",calc(n));
}
fclose(stdin); fclose(stdout);
return 0;
}
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