题意： T T T组数据，对于每个模数 p p p，求 2 2 2 . . . m o d 2^{2^{2^{...}}} mod 222...mod p p p， T ≤ 1 0 3 T\le 10^3 T≤103， p ≤ 1 0 7 p\le 10^7 p≤107
思路：扩展欧拉定理
显然
2
2
.
.
.
{2^{2^{...}}}
22...这个无限数，是大于
φ
(
p
)
\varphi(p)
φ(p)的，那么由扩展欧拉定理可得：
对于
b
≥
φ
(
p
)
b\ge \varphi(p)
b≥φ(p)，
有
a
b
≡
a
b
m
o
d
φ
(
p
)
+
φ
(
p
)
m
o
d
p
a^b\equiv a^{b\ mod\ \varphi(p)+\varphi(p)}\ mod\ p
ab≡ab mod φ(p)+φ(p) mod p
很显然这个是递归式子，模数
φ
(
p
)
\varphi(p)
φ(p)很快会降为
1
1
1，此时式子为
0
0
0
对于
φ
(
p
)
\varphi(p)
φ(p)，我们可以用线性筛预处理得到
时间复杂度：
O
(
p
+
T
l
o
g
p
)
O(p+Tlog\ p)
O(p+Tlog p)
接下来我们谈一下，如何用线性筛预处理欧拉函数
φ
(
x
)
\varphi(x)
φ(x)
对于
φ
(
x
)
\varphi(x)
φ(x)我们利用如下性质：
- φ ( x ) = x − 1 \varphi(x)=x-1 φ(x)=x−1， x ∈ p r i m e x\in prime x∈prime
- φ ( x k ) = x k − x k − 1 \varphi(x^k)=x^k-x^{k-1} φ(xk)=xk−xk−1， x ∈ p r i m e x\in prime x∈prime
- g c d ( m , n ) = 1 gcd(m,n)=1 gcd(m,n)=1, φ ( m n ) = φ ( m ) φ ( n ) \varphi(mn)=\varphi(m) \varphi(n) φ(mn)=φ(m)φ(n)
由此，我们得到欧拉函数是个积性函数，而线性筛可以预处理积性函数
Code：
bool vis[N];
int cnt,prime[N/10],phi[N],p,t;
void get_phi(int n){
phi[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++){
if(!vis[i]){
prime[++cnt]=i;
phi[i]=i-1;
}
for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=n;j++){
vis[i*prime[j]]=1;
if(i%prime[j]==0){
phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
break;
}
else phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
}
}
}
套用这个模板，本题就很容易了
Code：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e7+10;
typedef long long ll;
bool vis[N];
int cnt,prime[N/10],phi[N],p,t;
void get_phi(int n){
phi[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++){
if(!vis[i]){
prime[++cnt]=i;
phi[i]=i-1;
}
for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=n;j++){
vis[i*prime[j]]=1;
if(i%prime[j]==0){
phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
break;
}
else phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
}
}
}
int power(int a,int b,int p){
int res=1;
for(;b;b>>=1){
if(b&1) res=1LL*res*a%p;
a=1LL*a*a%p;
}
return res;
}
int solve(int x){
if(x==1) return 0;
return power(2,solve(phi[x])+phi[x],x);
}
int main(){
get_phi(N);
cin>>t;
while(t--){
cin>>p;
cout<<solve(p)<<endl;
}
return 0;
}