一个有理数集上的实数集函数

一个定义在有理数集上的实数函数 f,对一切有理数x和y,都有 f(x+y)=  f(x)+ f(y)。

证明:对有理数x有 f(x)= kx,其中k为实数。

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令n为大于0的正整数,则

f(nx)= f(n-1 x)+f(x)

f(n-1 x)= f(n-2 x)+f(x)

············

f(2x)= f(x)+f(x)

∴ f(nx)= n f(x)

 这意味着,对任意一个x,将自变量区域0-x分为n(n为正整数)份并命名为x1、x2···xn,所有这些点对应的y在一条直线上并且过原点。

假设 对所有的有理数x都满足 f(x)= kx 不成立,即至少存在两点,这两点的连线不过原点,设这两点中较小的点为xa,较大的为xb,xa<xb,

由于xa xb都是有理数,所以xa/xb 是一个真分数,设xa/xb的分母为m,分子为n,将自变量0-xb分为m份,并命名为x1、x2···xm,所有这些点对应的y在一条直线上并且过原点。由于xn就是xa,所以xa对应的点与xb对应的点连线也过原点,与已知矛盾,所以假设不成立,所以对所有的有理数x有 f(x)= kx 成立,证毕。

 

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