1 前言
除了 9n±4 型自然数外，所有 100 以内的自然数都能写成三个整数的立方和。
2 正文
1 = (-1)³ + 1³ + 1³
2 = 7³ + (-5)³ + (-6)³
3 = 1³ + 1³ + 1³
4 不可能
5 不可能
6 = (-1)³ + (-1)³ + 2³
7 = 104³ + 32³ + (-105)³
8 = (-1)³ + 1³ + 2³
9 = 217³ + (-52)³ + (-216)³
10 = 1³ + 1³ + 2³
11 = (-2)³ + (-2)³ + 3³
12 = 7³ + 10³ + (-11)³
13 不可能
14 不可能
15 = (-1)³ + 2³ + 2³
16 = (-511)³ + (-1609)³ + 1626³
17 = 1³ + 2³ + 2³
18 = (-1)³ + (-2)³ + 3³
19 = 19³ + (-14)³ + (-16)³
20 = 1³ + (-2)³ + 3³
21 = (-11)³ + (-14)³ + 16³
22 不可能
23 不可能
24 = (-2901096694)³ + (-15550555555)³ + 15584139827³
25 = (-1)³ + (-1)³ + 3³
26 = 297³ + 161³ + (-312)³
27 = (-1)³ + 1³ + 3³
28 = 14³ + 13³ + (-17)³
29 = 1³ + 1³ + 3³
30 = (-283059965)³ + (-2218888517)³ + 2220422932³
31 不可能
32 不可能
33 = 8866128975287528³ + (-8778405442862239)³ + (-2736111468807040)³
34 = (-1)³ + 2³ + 3³
35 = 14³ + (-8)³ + (-13)³
36 = 1³ + 2³ + 3³
37 = 50³ + 37³ + (-56)³
38 = 1³ + (-3)³ + 4³
39 = 117367³ + 134476³ + (-159380)³
40 不可能
41 不可能
42 = (-80538738812075974)³ + 80435758145817515³ + 12602123297335631³
43 = 2³ + 2³ + 3³
44 = (-5)³ + (-7)³ + 8³
45 = 2³ + (-3)³ + 4³
46 = (-2)³ + 3³ + 3³
47 = 6³ + 7³ + (-8)³
48 = (-23)³ + (-26)³ + 31³
49 不可能
50 不可能
51 = 602³ + 659³ + (-796)³
52 = 23961292454³ + 60702901317³ + (-61922712865)³
53 = (-1)³ + 3³ + 3³
54 = (-7)³ + (-11)³ + 12³
55 = 1³ + 3³ + 3³
56 = (-11)³ + (-21)³ + 22³
57 = 1³ + (-2)³ + 4³
58 不可能
59 不可能
60 = (-1)³ + (-4)³ + 5³
61 = 845³ + 668³ + (-966)³
62 = 3³ + 3³ + 2³
63 = 7³ + (-4)³ + (-6)³
64 = (-1)³ + 1³ + 4³
65 = 91³ + 85³ + (-111)³
66 = 1³ + 1³ + 4³
67 不可能
68 不可能
69 = 2³ + (-4)³ + 5³
70 = 11³ + 20³ + (-21)³
71 = (-1)³ + 2³ + 4³
72 = 7³ + 9³ + (-10)³
73 = 1³ + 2³ + 4³
74 = (-284650292555885)³ + (66229832190556)³ + (283450105697727)³
75 = 4381159³ + 435203083³ + (-435203231)³
76 不可能
77 不可能
78 = 26³ + 53³ + (-55)³
79 = (-19)³ + (-33)³ + 35³
80 = 69241³ + 103532³ + (-112969)³
81 = 10³ + 17³ + (-18)³
82 = (-11)³ + (-11)³ + 14³
83 = (-2)³ + 3³ + 4³
84 = (-8241191)³ + (-41531726)³ + 41639611³
85 不可能
86 不可能
87 = (-1972)³ + (-4126)³ + 4271³
88 = 3³ + (-4)³ + 5³
89 = 6³ + 6³ + (-7)³
90 = (-1)³ + 3³ + 4³
91 = 364³ + 192³ + (-381)³
92 = 1³ + 3³ + 4³
93 = (-5)³ + (-5)³ + 7³
94 不可能
95 不可能
96 = 10853³ + 13139³ + (-15250)³
97 = (-1)³ + (-3)³ + 5³
98 = 14³ + 9³ + (-15)³
99 = 2³ + 3³ + 4³
100 = 7³ + (-3)³ + (-6)³
附加：3的整数解第一组合第二组
第三组整数解：
3 过程
1992 年，数学家 Roger Heath-Brown 提出了一个猜想：对于一个正整数k，如果它除以 9 的余数不是 4 或5（k不等于 9n±4），那么k就可以表示成三个整数的立方之和。
而且每个k都有无穷多组整数解。
对于k小于 100 的情况，2019 年之前只有k=33、42 没有找到整数解。
2000 年，美国哈佛大学的诺姆 · 埃尔吉斯提出了一个实用的算法，成功找到了许多较小整数的立方和算式。
2015 年，数学家蒂姆 · 布朗宁发布了一段解释该问题的视频。当时小于 100 的整数几乎都被解决，只剩下 33、42 和 74 这三个数。
说明：对于k小于 100 的情况，2019 年之前只有k=33、42 没有找到整数解。
2019 年 3 月，33 告破：
33 = 8866128975287528³ + (-8778405442862239)³ + (-2736111468807040)³
2019 年 9 月，麻省理工的 Andrew Sutherland 和布里斯托大学 Andrew Booker 的两位安德鲁找到了 42 的答案：
42 = (-80538738812075974)³ + （80435758145817515)³ + （12602123297335631)³
论文：
Andrew R. Booker and View ORCID ProfileAndrew V. Sutherland[3] PNAS March 16, 2021 118 (11) e2022377118;https://doi.org/10.1073/pnas.2022377118 Edited by Kenneth A. Ribet, University of California, Berkeley, CA, and approved January 27, 2021 (received for review October 26, 2020)4 扩展资料
[1] x3+y3+z3=3第三组整数解是多少？这个58年难题被40万台电脑算出来了
[2] 人类第一次将42写成3个整数的立方和！100以内全部解决
[3] On a question of Mordell（论文）
[4] 3的三个整数立方和有多少个解？全球40万台计算机助力，MIT研究登上PNAS