2014-2015 Petrozavodsk Winter Training Camp, Contest.58 (Makoto rng_58 Soejima contest)

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Problem A. Manhattan

题意 给一网格图,找出欧几里得距离为 d 的两点,最大化最短路。

第一回合

三分搜索,第一个点的坐标 \((x,0)(0\leq x<1)\),确定第一个点后,对第二个点的横坐标或者纵坐标进行枚举计算答案。

第二回合

设最优解两点之间,横坐标差绝对值为 \(dx\) 纵坐标差绝对值为 \(dy\),分类讨论。

  • \(dx\) 为整数时,枚举 \(dx\),有 \(dy=\sqrt{d^2-dx^2}\)
  • \(dy\) 为整数时,枚举 \(dy\)
  • 否则,猜测答案为 \(\sqrt{2}d\),两点斜率绝对值为 1。(距离为 \(d\) 的两点曼哈顿距离最大值为 \(\sqrt{2}d\)

第三回合

  • 注意到,若 \(min(dx,dy)\geq 1\) 或者 \(dx,dy\) 皆不为整数,两点间最短路即曼哈顿距离。
  • 当两点间最短距离不是曼哈顿距离时,\(0 \leq min(dx,dy)<1\),且 \(dx,dy\) 中存在正整数。

Problem C. Clique Coloring

题意 求极小的 m,使得可以选出大小分别为 \(a_1,a_2,...,a_n\) 的子集,使得两两交大小小于等于 1.

做法

  • 注意到任意两个集合的交,小于等于 1.
  • 元素按,是否归属于 \(1,2,...,n\) 号集合,可以划分成 \(2^n\) 个等价类,编号分别为 \(0\)~\(2^n-1\)
  • DFS 枚举编号 \(bitcount()\) 大于 1 的等价类中是否有元素,剪掉一些 invalid 的枚举(若 \(bitcount(x\&y) \geq 2\),那么第 x 个等价类,第 y 个等价类,不可同时有元素)。
  • 合法的枚举方案很少 \((<1e5)\),对每种方案统计答案即可。

Problem B. Dictionary

题意 给 n 个串,字符集为小写字母,替换 ‘?‘,使字典序单增。

做法 考虑 DP

  • \(f[l][r][p][c]\) 表示考虑第 l 个串到第 r 个串的 p ~ 20 位,?使得它们字典序单增,且 \(s[x] [p]=c(l \leq x \leq r)\) 的方案数。
  • \(g[l][r][p][c]\) 表示考虑第 l 个串到第 r 个串的 p ~ 20 位,?使得它们字典序单增,且 \(s[l] [p]=c\) 的方案数。
  • \(g[21][i][i]['\0']=f[21][i][i]['\0']=1(1\leq i\leq n)\)
  • \(f[l][r][p][c]=\sum_{ch}g[l][r][p+1][c]*[condition]\),其中 \([condition]\) 表示 \(s[x][p](l\leq x\leq r)\) 能否全为字符 \(c\).
  • \(g[l][r][p][c]=\sum_{ch>c}\sum_{mid}f[l][mid][p][c]*((mid+1<=r)?g[mid+1][r][p][ch]:1)\)
  • \(g[l][r][p][]\) 做后缀和,优化。

code


Problem D. Dense Amidakuji

题意 排骨龙沿着竹竿往下爬,输出会从哪个竹竿落下。


Problem G. Snake

题意 给一条折线段\(P_1P_2,.....P_n\),问能否穿过一个洞。

口胡

  • 能穿过洞,等价于折线段在任意位置都能被直线划分成两段。
  • 若在位置 \(Q\) 能被划分成两段,那么必存在 \(1\leq i \leq n\),使得 \(QP_i\) 能把折线段划分成两段。
  • 枚举点 \(P_i\),更新点集 \(\{Q|P_iQ 能划分折线段\}\)
  • 有解,等价于,\(\cup_{i=1}^{n} \{Q|P_iQ 能划分折线段\} = 折线段上点组成点集\)

Problem J. Hyperrectangle

题意 输入 \(d\) 维长方体,求 \(x_1+x_2+..+x_d\leq s\) 体积。

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