CF1276F - Asterisk Substrings

题目大意

给定串\(S,|S|=n\)，设一个串的子串集合为\(Sub(S)\)

求\(|Sub(S) \cup Sub(*+S[2:n])\cup Sub(S[1:1]+*+S[3:n])\cup \cdots|\)

其中*表示特殊字符而不是通配符

分析

对于不包含*的串，显然就是\(Sub(S)\)，可以通过后缀数组，后缀自动机来计算

对于包含*的串，考虑分两部分计算

1.对于后面接的串\(T\)分类

对于后面接的串\(T\)，\(T\)在原串\(S\)出现的位置对应后缀数组上一段\(\text{rank}\)区间\([l,r]\)

考虑按照原串后缀数组的\(\text{height}\)建立笛卡尔树，此时容易发现，不同的\([l,r]\)就是

笛卡尔树上每一个节点对应的区间，而这个\([l,r]\)出现的个数就是\(height_u-height_{fa_u}\)

2.对于每一个\([l,r]\)计算前面接的串\(R\)的种类

那么在前面接的串\(R\)就是从\([l,r]\)中\(sa[i]-2\)对应的所有前缀中

选择某一条后缀得到

在笛卡尔树上计算时，我们需要从儿子中合并两段\([l,r],[l',r']\)，计算不同串个数

也就是说我们需要动态维护一个集合\(Set\)为反串后缀的子集，并且计算这些后缀能够构成的串种类

对于\(Set\)为全集的情况，我们知道答案就是\(\sum |suf_i|-\sum height_i\)

这条式子的意义实际上是：

按照\(\text{rank}\)考虑每一个后缀，减去前面已经出现过的所有串，就是减去和前面串最大的\(\text{LCP}\)

由于\(\text{LCP}(i,j)\)取决于中间\(height\)的最小值，按\(\text{rank}\)加入时\(\text{LCP}\)的最大值就是\(height_{i-1}\)

那么这个计算思路对于\(Set\)中元素不连续的情况显然依然成立

只需要动态维护出现位置的\(\text{rank}\)，不断减去相邻两个位置\(i,j\)的\(\text{LCP}\)即可

用\(\text{std::set}\)+启发式合并即可\(O(n\log ^2n)\)维护，\(\text{LCP}\)用后缀数组\(\text{RMQ}\)即可\(O(1)\)求（实际上带一个$\log $也不影响总复杂度）

或许用线段树合并可以做到\(O(n\log n)\)

代码的话$\downarrow $，有轻度封装

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define rep(i,a,b) for(int i=a,i##end=b;i<=i##end;++i)
#define drep(i,a,b) for(int i=a,i##end=b;i>=i##end;--i)

char IO;
template <class T=int> T rd(){
	T s=0; int f=0;
	while(!isdigit(IO=getchar())) f|=IO=='-';
	do s=(s<<1)+(s<<3)+(IO^'0');
	while(isdigit(IO=getchar()));
	return f?-s:s;
}

enum{N=100010};
int n,m;
char s[N];
struct Suffix_Array{
int rk[N<<1],tmp[N],cnt[N],sa[N],lcp[N];
void Build() {
	rep(i,1,n) cnt[s[i]-'a']++;
	rep(i,1,25) cnt[i]+=cnt[i-1];
	rep(i,1,n) rk[i]=cnt[s[i]-'a'];
	drep(i,n,1) sa[cnt[s[i]-'a']--]=i;
	for(int m=n,k=1;;k<<=1) {
		int h=0;
		rep(i,n-k+1,n) tmp[++h]=i;
		rep(i,1,n) if(sa[i]>k) tmp[++h]=sa[i]-k;
	
		rep(i,1,n) cnt[rk[sa[i]]]=i;
		drep(i,n,1) sa[cnt[rk[tmp[i]]]--]=tmp[i];
		
		rep(i,1,n) tmp[sa[i]]=tmp[sa[i-1]]+(rk[sa[i]]!=rk[sa[i-1]]||rk[sa[i-1]+k]!=rk[sa[i]+k]);
		rep(i,1,n) rk[i]=tmp[i];
		if((m=rk[sa[n]])==n) break;
	}
	int h=0;
	rep(i,1,n) {
		int j=sa[rk[i]-1];
		if(h) h--;
		while(s[i+h]==s[j+h]) h++;
		lcp[rk[i]-1]=h;
	}
}
} ;

struct LCPer:Suffix_Array{
int st[20][N],Log[N];
void Init() {
	rep(i,2,n) Log[i]=Log[i>>1]+1;
	rep(i,1,n) st[0][i]=lcp[i];
	rep(i,1,Log[n]) {
		int len=1<<(i-1);
		rep(j,1,n-len+1) st[i][j]=min(st[i-1][j],st[i-1][j+len]);
	}
}
int LCP(int i,int j) {
	if(i==j) return n-sa[i]+1;
	if(i>j) swap(i,j);
	j--;
	int d=Log[j-i+1];
	return min(st[d][i],st[d][j-(1<<d)+1]);
}
} S;

struct SA_Solver:Suffix_Array{
int stk[N],top,ls[N],rs[N],mk[N];
ll ans,F[N*2];
set <int> st[N*2];
void dfs(int &u,int l,int r,int lst){
	if(l==r) {
		u=++m;
		int p=sa[l];
		if(p>2) {
			int q=n-(p-2)+1;
			F[u]=n-q+1;
			st[u].insert(S.rk[q]);
		}
		if(p>1) ans+=1ll*(n-p+1-lst)*(F[u]+1);
		return;
	}
	dfs(ls[u],l,u,lcp[u]),dfs(rs[u],u+1,r,lcp[u]);
	if(st[ls[u]].size()>st[rs[u]].size()) swap(ls[u],rs[u]);
	swap(st[u],st[rs[u]]),F[u]=F[ls[u]]+F[rs[u]];

	int t=-1;
	for(int i:st[ls[u]]) {
		if(~t) F[u]+=S.LCP(t,i);
		t=i;
		auto r=st[u].upper_bound(i);
		if(r!=st[u].end()) F[u]-=S.LCP(i,*r);
		if(r!=st[u].begin()) {
			auto l=r; l--;
			if(r!=st[u].end()) F[u]+=S.LCP(*l,*r);
			F[u]-=S.LCP(*l,i);
		}
		st[u].insert(i);
	}
	ans+=1ll*(lcp[u]-lst)*(F[u]+1);
}
void Solve(){
	rep(i,1,n-1) {
		while(top && lcp[stk[top]]>lcp[i]) ls[i]=stk[top--];
		if(top) rs[stk[top]]=i;
		stk[++top]=i;
	}
	rep(i,1,n-1) mk[ls[i]]=mk[rs[i]]=1;

	rep(i,1,n) ans+=n-i+1-lcp[i];
	ans++;
	int lst=-1;
	rep(i,1,n) if(S.sa[i]>1) {
		ans+=n-S.sa[i]+1;
		if(~lst) ans-=min(S.LCP(i,lst),min(n-S.sa[i]+1,n-S.sa[lst]+1));
		lst=i;
	}
	ans++;
	rep(i,1,n-1) if(!mk[i]) dfs(i,1,n,0);
	printf("%lld\n",ans);
}
} T;

int main(){
	scanf("%s",s+1),n=m=strlen(s+1);
	if(n==1) return puts("3"),0;
	T.Build(),reverse(s+1,s+n+1),S.Build(),S.Init();
	T.Solve();
}